Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहां \(11/5 \ne 6/3\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। परीक्षा में अलग पहले दो अनुपात देखकर unique solution लिखें। / Here \(11/5 \ne 6/3\) so the lines will intersect. In exams write unique solution when the first two ratios are different.
C. संपाती रेखाएं और अनंत हल/Coincident lines and infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं। / The second equation is (4) times the first. Therefore both equations represent the same line.
यहां (1/2=(-3)/(-6)) लेकिन (4/9) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (1/2=(-3)/(-6)) but (4/9) is different. Therefore the lines are parallel and distinct.
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
C. जब (a_1/a_2 \ne b_1 / b_2) हो / When \(a_1 / b_2\)
Explanation
Simple Explanation
संगत और स्वतंत्र युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। इसके लिए (a) और (b) के अनुपात अलग होने चाहिए। / A consistent and independent pair has one unique solution. For this the ratios of (a) and (b) must be different.
यहां \(9/4 \ne 5/2\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए एक अद्वितीय हल है। / Here \(9/4 \ne 5/2\) so the lines intersect at one point. Therefore there is one unique solution.
यहां (8/2=12/3) लेकिन (24/7) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Here (8/2=12/3) but (24/7) is different. Therefore the lines are parallel and there is no solution.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए दोनों रेखाएं एक ही हैं। समान रेखा अनंत हल देती है। / The second equation is (2) times the first so both lines are the same. The same line gives infinitely many solutions.
एक ही रेखा के हर बिंदु से दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Every point on the same line satisfies both equations. Therefore such a pair has infinitely many solutions.
कटने का एक बिंदु दोनों समीकरणों का सामान्य हल होता है। इसलिए केवल एक अद्वितीय हल मिलता है। / One intersection point is the common solution of both equations. Therefore exactly one unique solution is obtained.
अलग समानांतर रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। इसलिए युग्म असंगत कहलाता है। / Distinct parallel lines have no common point. Therefore the pair is called inconsistent.
यहां \(2/5 \ne 7/9\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। कटती रेखाएं एक अद्वितीय हल देती हैं। / Here \(2/5 \ne 7/9\) so the lines will intersect. Intersecting lines give one unique solution.
यहां (6/3=2/1) लेकिन (8/5) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (6/3=2/1) but (8/5) is different. Therefore the lines are parallel and distinct.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और युग्म संगत आश्रित है। / The second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and the pair is consistent dependent.
तीनों अनुपात बराबर होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा बनाते हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / When all three ratios are equal both equations make the same line. This situation has infinitely many solutions.
इस स्थिति में रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। समानांतर अलग रेखाएं कभी नहीं मिलतीं। / In this case the lines are parallel and distinct. Distinct parallel lines never meet.
अलग अनुपात बताता है कि रेखाएं समानांतर नहीं हैं। इसलिए वे एक बिंदु पर कटती हैं। / Different ratios show that the lines are not parallel. Therefore they intersect at one point.
यहां \(1/3 \ne 5/14\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। अलग गुणांक अनुपात अद्वितीय हल देते हैं। / Here \(1/3 \ne 5/14\) so the lines intersect at one point. Different coefficient ratios give a unique solution.
यहां (4/8=3/6) लेकिन (10/21) अलग है इसलिए कोई हल नहीं। पहले दो अनुपात बराबर और तीसरा अलग हो तो रेखाएं समानांतर होती हैं। / Here (4/8=3/6) but (10/21) is different so there is no solution. Equal first two ratios and a different third ratio mean parallel lines.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है इसलिए रेखाएं संपाती हैं। संपाती रेखाओं में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
यहां (14/2=(-7)/(-1)) लेकिन (28/3) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (14/2=(-7)/(-1)) but (28/3) is different. Therefore the lines are parallel and distinct.
C. अनंत हल हैं/There are infinitely many solutions
Explanation
Simple Explanation
पहला समीकरण दूसरे का (3) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएं संपाती हैं और अनंत हल हैं। / The first equation is (3) times the second. Therefore both lines are coincident and have infinitely many solutions.
अलग ढाल वाली रेखाएं एक ही बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Therefore the pair is consistent and independent.
समान ढाल और अलग अवरोध से रेखाएं समानांतर और अलग होती हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines parallel and distinct. Therefore there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध से दोनों रेखाएं एक ही हो जाती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / Same slope and same intercept make both lines identical. Therefore infinitely many solutions are obtained.
C. रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं/Lines intersect at one point
Explanation
Simple Explanation
यहां \(13/4 \ne 2/5\) इसलिए रेखाएं समानांतर नहीं हैं। वे एक बिंदु पर कटेंगी और एक हल देंगी। / Here \(13/4 \ne 2/5\) so the lines are not parallel. They will intersect at one point and give one solution.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore both equations represent the same line.
यहां \(11/22 \ne 3/7\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। इससे एक अद्वितीय हल मिलेगा। / Here \(11/22 \ne 3/7\) so the lines will intersect. This gives one unique solution.
यहां (10/2=5/1) लेकिन (30/7) अलग है। इसलिए रेखाएं समानांतर और अलग हैं। / Here (10/2=5/1) but (30/7) is different. Therefore the lines are parallel and distinct.
