Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्रमागत अंतर (p,2p,3p) हैं जो समान तभी होंगे जब (p=0)। ऐसे प्रश्नों में पहले सभी अंतर लिखें। / The consecutive differences are (p,2p,3p), which are equal only when (p=0). In such questions, first write all differences.
(2(3a+6)=(5a-2)+(a+18)) से (a=2) मिलता है। तब पद (8,12,20) नहीं बल्कि (8,12,20) समान अंतर नहीं देते, इसलिए सही जांच से कोई अंकगणितीय श्रेणी नहीं बनती। / (2(3a+6)=(5a-2)+(a+18)) gives (a=2). Then the terms (8,12,20) do not have equal differences, so no arithmetic progression is formed.
तीन क्रमागत पदों में (2) गुना मध्य पद बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है। इसलिए (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) से (x=3)। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two terms. So (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) gives (x=3).
क्रमागत अंतर (r,2r,3r) हैं, ये समान तभी होंगे जब (r=0)। ऐसे प्रश्नों में पहले सभी क्रमागत अंतर लिखें। / The consecutive differences are (r,2r,3r), which are equal only when (r=0). In such questions first write all consecutive differences.
(2(k+2)=(k-3)+(2k+1)) से (2k+4=3k-2), इसलिए (k=6)। समीकरण बनाते समय मध्य पद को पहचानें। / From (2(k+2)=(k-3)+(2k+1)), (2k+4=3k-2), so (k=6). Identify the middle term while forming the equation.
मूल (d=4) है और (3n) का (d=3) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके सार्व अंतर को घटाएं। / The original (d=4), and (3n) has (d=3), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its common difference.
\(h=\frac{4+20}{2}=12\), इसलिए (h-4=8)। मध्य पद निकालकर सार्व अंतर भी मिल जाता है। / \(h=\frac{4+20}{2}=12\), so (h-4=8). Finding the middle term also gives the common difference.
C. नहीं, क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/No because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (81,225,441) हैं और अंतर (144,216) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (81,225,441), and the differences are (144,216), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
सभी पदों को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर (d) भी उसी से गुणा होगा, इसलिए नया (d=-3)। गुणक सीधे सार्व अंतर पर भी लागू होता है। / When all terms are multiplied by \(-\frac{1}{2}\), (d) is also multiplied by it, so the new (d=-3). The multiplier applies directly to the common difference too.
(2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)) से (6u+4=7u), इसलिए (u=4)। मध्य पद का दुगुना नियम यहां सीधा है। / From (2(3u+2)=(2u-1)+(5u+1)), (6u+4=7u), so (u=4). The twice-middle-term rule is direct here.
\(12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}\) और आगे भी \(-\frac{3}{2}\) घटता है। (a) और (d) दोनों को साथ में मिलाएं। / \(12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}\), and \(-\frac{3}{2}\) continues to be subtracted. Match both (a) and (d) together.
(3+3d=24) से (d=7), इसलिए दूसरा पद (3+d=10)। पहले (d) निकालकर संबंधित पद बनाएं। / From (3+3d=24), (d=7), so the second term is (3+d=10). First find (d) and then form the required term.
मूल (d=3) है, दुगुना करने से (d=6) होगा और (1) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। गुणा (d) बदलता है, समान घटाव नहीं। / The original (d=3); doubling makes (d=6), and subtracting (1) does not change (d). Multiplication changes (d), equal subtraction does not.
(8) से (14) तक अंतर (6) है, इसलिए (s=8-6=2)। पीछे की ओर चलते समय भी वही (d) घटाएं। / The difference from (8) to (14) is (6), so (s=8-6=2). While moving backward, subtract the same (d).
पहले अनुक्रम का (d=0) और दूसरे का (d=2) है, इसलिए नया (d=2)। स्थिर अनुक्रम जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The first sequence has (d=0) and the second has (d=2), so the new (d=2). Adding a constant sequence does not change (d).
A. (d=-1) वाली अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression with (d=-1)
Explanation
Simple Explanation
पहले (d=4) और दूसरे (d=5) हैं, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-5=-1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद अंतर भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The first has (d=4) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=4-5=-1). The termwise difference of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
नए पद (a+1, a+d+2, a+2d+3) हैं और दोनों अंतर (d+1) हैं। क्रमशः बढ़ती हुई जोड़ से (d) में (1) जुड़ता है। / The new terms are (a+1, a+d+2, a+2d+3), and both differences are (d+1). Adding increasing numbers respectively adds (1) to (d).
(2,6,10) तक अंतर (4,4) हैं, पर (15-10=5) है। सभी उपलब्ध क्रमागत अंतर जांचना जरूरी है। / Up to (2,6,10), the differences are (4,4), but (15-10=5). It is necessary to check all available consecutive differences.
(2(x+6)=2x+18) से (2x+12=2x+18) असत्य है, इसलिए कोई (x) संभव नहीं। अतः (d) निर्धारित नहीं होता। / (2(x+6)=2x+18) gives (2x+12=2x+18), which is false, so no (x) is possible. Hence (d) is not determined.
मूल (d=-3) है और पद संख्या का (d=1) है, इसलिए नया (d=-3-1=-4)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=-3), and term numbers have (d=1), so the new (d=-3-1=-4). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
दोनों अंतर (5) और (5) हैं, इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है। चर की जगह पहले अंतरों की तुलना करें। / Both differences are (5) and (5), so it is an arithmetic progression for every (x). Compare differences before fixing the variable.
पहले अनुक्रम का (d=-3) और दूसरे का (d=4) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-3-4=-7)। पद-दर-पद घटाव में सार्व अंतरों को भी घटाएं। / The first sequence has (d=-3) and the second has (d=4), so the difference sequence has (d=-3-4=-7). In termwise subtraction, subtract the common differences too.
दोनों सार्व अंतर (3) और (5) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=3+5=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The two common differences are (3) and (5), so the sum sequence has (d=3+5=8). In termwise addition, common differences add.
(4+d=1) से (d=-3), और (4+2d=-2) से भी यही मिलता है। सामान्य रूप को दिए गए पदों से मिलाएं। / From (4+d=1), (d=-3), and (4+2d=-2) confirms it. Match the general form with the given terms.
पहले तीन विकल्पों में (d=-8) है, लेकिन \(81,72,63,54,\ldots\) में (d=-9) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों देखें। / The first three options have (d=-8), but \(81,72,63,54,\ldots\) has (d=-9). Check both value and sign in the options.
तीन पदों में \(b=\frac{4+22}{2}=13\), इसलिए (b-a=13-4=9)। मध्य पद को औसत से निकालें। / For three terms, \(b=\frac{4+22}{2}=13\), so (b-a=13-4=9). Find the middle term using the average.
मूल (d=-5) है, इसलिए (4) से भाग देने पर नया \(d=-\frac{5}{4}\) होगा। सभी पदों को समान संख्या से भाग देने पर (d) भी उसी से भाग देता है। / The original (d=-5), so after dividing by (4), the new \(d=-\frac{5}{4}\). Dividing all terms by the same number divides (d) by that number.
(2(2m+5)=(m+2)+(4m+1)) से (4m+10=5m+3), इसलिए (m=7)। तीन पदों में मध्य पद का दुगुना नियम लगाएं। / From (2(2m+5)=(m+2)+(4m+1)), (4m+10=5m+3), so (m=7). Use the twice-middle-term rule for three terms.
(-\frac{5}{6}-\left\(-\frac{3}{2}\right\)=\frac{2}{3}) और अगला अंतर भी \(\frac{2}{3}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-\frac{5}{6}-\left\(-\frac{3}{2}\right\)=\frac{2}{3}), and the next difference is also \(\frac{2}{3}\). Be careful while subtracting negative fractions.
(2(2x+3)=x+(4x+1)) से (4x+6=5x+1), इसलिए (x=5) और (d=13-5=8)। पहले चर का मान निकालना जरूरी है। / From (2(2x+3)=x+(4x+1)), (4x+6=5x+1), so (x=5) and (d=13-5=8). Finding the variable first is necessary.
