Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मूल (d=-3) है और पद संख्या का (d=1) है, इसलिए नया (d=-3-1=-4)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=-3), and term numbers have (d=1), so the new (d=-3-1=-4). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
दोनों अंतर (6) और (6) हैं, इसलिए यह हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। समान बीजगणितीय अंतर पर्याप्त है। / Both differences are (6) and (6), so it is an arithmetic progression for every (x). Equal algebraic differences are sufficient.
पहले अनुक्रम का (d=-4) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-4-3=-7)। पद-दर-पद घटाव में अंतरों को भी घटाएं। / The first sequence has (d=-4) and the second has (d=3), so the difference sequence has (d=-4-3=-7). In termwise subtraction, subtract the differences too.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=7) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=11)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=7), so the sum sequence has (d=11). In termwise addition, common differences add.
(6+d=2) से (d=-4) मिलता है और (6+2d=-2) इसकी पुष्टि करता है। सामान्य रूप को दिए गए पदों से मिलाएं। / From (6+d=2), (d=-4), and (6+2d=-2) confirms it. Match the general form with the given terms.
पहले तीन विकल्पों में (d=-7) है, लेकिन \(60,52,44,36,\ldots\) में (d=-8) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों जांचें। / The first three options have (d=-7), but \(60,52,44,36,\ldots\) has (d=-8). Check both value and sign in options.
मध्य पद \(b=\frac{6+30}{2}=18\), इसलिए (b-a=18-6=12)। तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{6+30}{2}=18\), so (b-a=18-6=12). In three terms, the middle term is the average.
मूल (d=-5) है, इसलिए (5) से भाग देने पर नया (d=-1) होगा। सभी पदों को समान संख्या से भाग देने पर (d) भी उसी से भागता है। / The original (d=-5), so after division by (5), the new (d=-1). Dividing all terms by the same number divides (d) by that number too.
(2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)) से (4m+6=5m-2), इसलिए (m=8)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाएं। / From (2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)), (4m+6=5m-2), so (m=8). Use the twice-middle-term rule.
(-\frac{7}{6}-\left\(-\frac{5}{3}\right\)=\frac{1}{2}) और अगला अंतर भी \(\frac{1}{2}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव ध्यान से करें। / (-\frac{7}{6}-\left\(-\frac{5}{3}\right\)=\frac{1}{2}), and the next difference is also \(\frac{1}{2}\). Subtract negative fractions carefully.
(2(2x+4)=x+4x) से (4x+8=5x), इसलिए (x=8)। तब (d=20-8=12), इसलिए दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / From (2(2x+4)=x+4x), (4x+8=5x), so (x=8). Then (d=20-8=12), so none of the listed values is correct.
मूल (d=-3) है और (-2) से गुणा करने पर नया (d=6) होगा। ऋणात्मक गुणक से चिह्न बदल सकता है। / The original (d=-3), and multiplying by (-2) gives new (d=6). A negative multiplier can change the sign.
A. हर (q) के लिए अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression for every (q)
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत अंतर (3q,3q,3q) हैं। समान बीजगणितीय अंतर होने पर यह हर (q) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। / The consecutive differences are (3q,3q,3q). With equal algebraic differences, it is an arithmetic progression for every (q).
मूल (d=5) है और (2n) का अंतर (2) है, इसलिए नया (d=5-2=3)। पद संख्या आधारित घटाव में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (2n) has difference (2), so the new (d=5-2=3). In term-number subtraction, subtract its difference.
पहले से पांचवें पद तक (4) अंतर हैं, इसलिए (4d=-20) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक होता है। / From the first to the fifth term there are (4) gaps, so (4d=-20) and (d=-5). In a decreasing progression, (d) is negative.
दूसरे से छठे पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=24) और (d=6)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the second to the sixth term there are (4) gaps, so (4d=24) and (d=6). Convert term distance into number of gaps.
मूल (d=4) है और (n) का अंतर (1) है, इसलिए नया (d=5)। पद संख्या जोड़ने पर उसका अंतर भी जुड़ता है। / The original (d=4), and (n) has difference (1), so the new (d=5). When adding term number, its difference is also added.
(2(4m+2)=3m+(6m-2)) से (8m+4=9m-2), इसलिए (m=6)। मध्य पद का दुगुना नियम सीधे लगाएं। / From (2(4m+2)=3m+(6m-2)), (8m+4=9m-2), so (m=6). Apply the twice-middle-term rule directly.
((r-3)-(r-9)=6) और ((r+3)-(r-3)=6) है। चर कटने पर स्थिर सार्व अंतर मिलता है। / ((r-3)-(r-9)=6) and ((r+3)-(r-3)=6). When variables cancel, a constant common difference remains.
(1.05-0.60=0.45) और (1.50-1.05=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित है। / (1.05-0.60=0.45) and (1.50-1.05=0.45). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
(20-2=18) तीन अंतरालों में बंटता है, इसलिए दूसरा पद (8) और तीसरा (14) होना चाहिए। इससे (x=5) और \(x=\frac{13}{3}\) मिलते हैं, इसलिए कोई एक मान संभव नहीं है। / (20-2=18) is split into three gaps, so the second term should be (8) and the third (14). This gives (x=5) and \(x=\frac{13}{3}\), so no single value is possible.
A. \(\frac{1}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5},2,\ldots\)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में हर क्रमागत अंतर \(\frac{3}{5}\) है। भिन्नों वाले विकल्पों में सभी अंतर अलग-अलग जांचें। / In the first option, every consecutive difference is \(\frac{3}{5}\). In fraction options, check all differences separately.
दोनों क्रमागत अंतर (6) और (6) हैं, इसलिए यह हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। चर तय करने से पहले अंतर सरल करें। / Both consecutive differences are (6) and (6), so it is an arithmetic progression for every (x). Simplify differences before deciding the variable.
मूल (d=5) है, पर उलटे क्रम \(18,13,8,3,\ldots\) में (d=-5) होगा। क्रम उलटने पर चिह्न बदलता है। / The original (d=5), but in reverse order \(18,13,8,3,\ldots\), (d=-5). Reversing the order changes the sign.
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
मूल (d=5) है, (2) से गुणा करने पर नया (d=10) होगा। समान (3) जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The original (d=5); multiplying by (2) makes the new (d=10). Adding the same (3) does not change (d).
\(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) है। भिन्नों में समान हर होने पर अंशों का अंतर लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). When denominators are equal, subtract the numerators.
कुल अंतर (20-2=18) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=6)। अतः (x=8), (y=14) और (x+y=22)। / The total difference (20-2=18) is split into three equal gaps, so (d=6). Hence (x=8), (y=14), and (x+y=22).
(25-19=6), इसलिए (u=19-6=13)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को पीछे की ओर भी लगाएं। / (25-19=6), so (u=19-6=13). While finding a missing term, apply the same difference backward too.
