Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \left\(\frac{7}{6},0\right\), \left\(-\frac{7}{6},0\right\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(36x^2-49\) एक वर्गों का अंतर है: \(36x^2-49=(6x-7)(6x+7)\)। x-अक्ष के कटान के लिए \(p(x)=0\) रखना होगा, अतः \(6x=\pm7\) से \(x=\pm\frac{7}{6}\) मिलता है। इसलिए कटान बिंदु \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) और \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\) हैं। निकटभ्रामक विकल्प C में अंक उलट दिए गए हैं (\(\frac{6}{7}\) है, सही उत्तर का व्युत्क्रम), और विकल्प B में 6 से विभाजन छूट गया है। परीक्षा-टिप: \(a^2-b^2\) के रूप को तुरंत पहचाने — तुरंत \(a-b\) और \(a+b\) पर फैक्टर कर लें। / The polynomial is a difference of squares: \(36x^2-49=(6x-7)(6x+7)\). Setting \(p(x)=0\) gives \(6x=\pm7\), so \(x=\pm\frac{7}{6}\). Hence the x-intercepts are \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) and \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\). Distractors: option C shows the reciprocal \(\frac{6}{7}\) instead of \(\frac{7}{6}\); option B wrongly omits dividing by 6. Exam tip: look for the pattern \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) or take square roots immediately as \(6x=\pm7\).
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
A. क्योंकि यह ((x-7)2+4) है/Because it is ((x-7)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-7)2+4) हमेशा धनात्मक है इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता। / ((x-7)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
(x-2+20x+100=(x+10)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((-10,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2+20x+100=(x+10)2), so the touching point is ((-10,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2-13x-68=(x-17)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (17) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-13x-68=(x-17)(x+4)), so the zeroes are (17) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है (13-(-18)=31)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (13-(-18)=31). Tip: range is always non-negative.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(f^2-4f^2=-3f^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(f^2-4f^2=-3f^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
वास्तविक (x) के लिए \(x^{10}\geq0\), इसलिए \(x^{10}+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^{10}\geq0\), so \(x^{10}+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
नीचे खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच मान धनात्मक होते हैं। टिप: (x=4) दोनों शून्यकों के बीच है। / For a downward-opening parabola, values between the two zeroes are positive. Tip: (x=4) lies between the zeroes.
(x-2-17x+72=(x-8)(x-9)) है, इसलिए दूरी (9-8=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-17x+72=(x-8)(x-9)), so the distance is (9-8=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
(x<-11) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-11), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
(5x-2-50x+125=5(x-5)2) है, इसलिए (x=5) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / (5x-2-50x+125=5(x-5)2), so it touches at (x=5). Tip: the outside (5) does not change the zero.
(x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)) है, इसलिए शून्यक (0), (4), (6) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-10x-2+24x=x(x-4)(x-6)), so the zeroes are (0), (4), (6). Tip: first take (x) as the common factor.
सात अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (7) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For seven distinct real zeroes, the degree must be at least (7). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
(x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm5\) हैं। टिप: \(x^2+25\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-625=\(x^2-25\)\(x^2+25\)), and the real zeroes are only \(\pm5\). Tip: \(x^2+25\) gives no real zero.
शून्यक (-9) और (4) हैं, इसलिए बहुपद ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-9) and (4), so the polynomial is ((x+9)(x-4)=x-2+5x-36). Tip: form factors from intersections.
दोहराए बिंदु समान (x)-मान देते हैं, इसलिए अलग शून्यक (-7) और (2) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / Repeated points give the same (x)-values, so the distinct zeroes are (-7) and (2). Tip: count the same (x)-value once.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: प्रत्येक कारक का चिह्न अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check the sign of each factor separately.
A. क्योंकि यह ((x-5)2+4) है/Because it is ((x-5)2+4)
Explanation
Simple Explanation
((x-5)2+4) हमेशा धनात्मक है, इसलिए (p(x)=0) नहीं होगा। टिप: वर्ग में धनात्मक संख्या जुड़ने पर वास्तविक कटान नहीं मिलता। / ((x-5)2+4) is always positive, so (p(x)=0) will not occur. Tip: adding a positive number to a square gives no real intersection.
(x-2-18x+81=(x-9)2) है, इसलिए स्पर्श बिंदु ((9,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग में चिह्न बदलकर शून्यक मिलता है। / (x-2-18x+81=(x-9)2), so the touching point is ((9,0)). Tip: change the sign in a perfect square to get the zero.
(x-2-9x-52=(x-13)(x+4)) है, इसलिए शून्यक (13) और (-4) हैं। टिप: गुणनखंडों से कटान बिंदु लिखें। / (x-2-9x-52=(x-13)(x+4)), so the zeroes are (13) and (-4). Tip: write intersection points from factors.
परास सबसे बड़े और सबसे छोटे शून्यक का अंतर है, (11-(-15)=26)। टिप: परास हमेशा गैरऋणात्मक होती है। / The range is the difference between the greatest and smallest zero, (11-(-15)=26). Tip: range is always non-negative.
शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है; यहाँ शून्यक -2, 4 और 10 हैं। माध्य निकालने के लिए इनके योग को संख्या से भाग करें: \(\frac{-2+4+10}{3}=4\)। नज़दीकी गलत विकल्प B (12) कुल योग है, परन्तु माध्य नहीं। परीक्षा‑टिप: प्रत्यक्ष रूप से कटान बिंदुओं से केवल x‑मूल्य लें और उन्हें शून्यकों की गिनती से भाग दें। / Zeroes are the x‑values where the graph meets the x‑axis; here they are -2, 4 and 10. The mean is the sum divided by the count: \(\frac{-2+4+10}{3}=4\). The closest distractor B (12) is the sum of the zeroes, not the mean. Exam tip: read only the x‑coordinates from intercepts and divide by the number of zeroes.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(d^2-4d^2=-3d^2<0\) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(d^2-4d^2=-3d^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
वास्तविक (x) के लिए \(x^8\geq0\), इसलिए \(x^8+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^8\geq0\), so \(x^8+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
(x-2-15x+56=(x-7)(x-8)) है इसलिए दूरी (8-7=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-15x+56=(x-7)(x-8)), so the distance is (8-7=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
(x<-9) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-9), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
(4x-2-24x+36=4(x-3)2) है इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (4) शून्यक नहीं बदलता। / (4x-2-24x+36=4(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (4) does not change the zero.
(x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)) है इसलिए शून्यक (0,3,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)), so the zeroes are (0,3,5). Tip: first take (x) as the common factor.
