Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
प्रथम चतुर्थांश में \(\sin \theta+\cos \theta\) का अधिकतम \(\sqrt{2}\) \(\theta=\frac{\pi}{4}\) पर होता है। परीक्षा में symmetry का उपयोग करें। / In the first quadrant, the maximum of \( \sin \theta+\cos \theta\) is \( \sqrt{2}\) at \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams use symmetry.
\(\tan \theta=\frac{4}{3}\) में opposite (4), adjacent (3), hypotenuse (5) होगा। परीक्षा में Pythagorean triplet पहचानें। / In \( \tan \theta=\frac{4}{3}\), opposite is (4), adjacent is (3), and hypotenuse is (5). In exams identify Pythagorean triplets.
\(\sin \theta=\cos \theta\) से \(\tan \theta=1\) और प्रथम चतुर्थांश में \(\theta=\frac{\pi}{4}\) है। परीक्षा में दोनों तरफ \(\cos \theta\) से भाग तभी दें जब वह शून्य न हो। / From \( \sin \theta=\cos \theta\), \( \tan \theta=1\), and in the first quadrant \( \theta=\frac{\pi}{4}\). In exams divide by \( \cos \theta\) only when it is nonzero.
\(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) होगा। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) लिया जाता है। / \(\cos^2 x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\). In the first quadrant, \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) is taken.
\(\cot x=\frac{5}{12}\) में आसन्न (5) और सामने (12) मानें। कर्ण (13) होगा, इसलिए \(\cos x=\frac{5}{13}\)। / For \(\cot x=\frac{5}{12}\), take adjacent as (5) and opposite as (12). The hypotenuse is (13), so \(\cos x=\frac{5}{13}\).
\(\tan x=\frac{3}{4}\) से समकोण त्रिभुज में कर्ण (5) होगा। इसलिए \(\sin x=\frac{3}{5}\)। / From \(\tan x=\frac{3}{4}\), the hypotenuse in a right triangle is (5). Hence \(\sin x=\frac{3}{5}\).
\(\sin x=\frac{15}{17}\) मिलता है और \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\) होता है। इसलिए \(\cot x=\frac{8}{15}\)। / \(\sin x=\frac{15}{17}\) and \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). Therefore, \(\cot x=\frac{8}{15}\).
\(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) से \(\sin x=\frac{5}{13}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में मान धनात्मक लिया जाता है। / From \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\), \(\sin x=\frac{5}{13}\). In the first quadrant, the positive value is taken.
\(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से \(\cos x=\frac{4}{5}\) मिलता है। प्रथम चतुर्थांश में \(\cos x\) धनात्मक होता है। / Using \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), \(\cos x=\frac{4}{5}\). In the first quadrant, \(\cos x\) is positive.
\(25^\circ\) \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए प्रथम चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण अक्सर प्रथम चतुर्थांश में होते हैं। / \(25^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\) so it is in the first quadrant. Small positive angles often lie in the first quadrant.
\(70^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। छोटे धनात्मक कोण पहले चतुर्थांश में आते हैं। / \(70^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Small positive angles lie in the first quadrant.
((4,2)) पर (2x+y=10) और (x+3y=10) मिलता है। सभी असमानताओं में बिंदु रखकर ही अंतिम विकल्प चुनें। / At ((4,2)), (2x+y=10) and (x+3y=10). Choose the final option only after substituting the point in all inequalities.
यदि (p>0), तो (x)-अवरोध \(\frac{6}{p}\) सीमित होता है। \(p\leq 0\) होने पर प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र (x) दिशा में सीमित नहीं रहता। / If (p>0), the (x)-intercept \(\frac{6}{p}\) is finite. If \(p\leq 0\), the region is not bounded in the (x)-direction in the first quadrant.
(x=0) से (4) तक क्रमशः (5,4,3,2,1) मान मिलते हैं। कुल (15) पूर्णांक बिंदु हैं। / For (x=0) to (4), the numbers of possible (y)-values are (5,4,3,2,1). The total is (15) integer points.
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corners are ((0,0)), ((6,0)), ((4,2)), and ((0,4)). Hence there are (4) corner points.
\(\geq\) वाली शर्तें प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) conditions give an upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
((3,3)) रखने पर (2x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। बिंदु जांच में सभी असमानताओं को अलग-अलग जांचें। / Substituting ((3,3)) gives (2x+y=9) and (x+2y=9). In point testing, check every inequality separately.
((1,4)) पर (x+2y=9) और (2x+y=6) है। यह सभी शर्तें पूरी करता है और सीमा सहित क्षेत्र में आता है। / At ((1,4)), (x+2y=9) and (2x+y=6). It satisfies all conditions and lies in the region including the boundary.
\(\geq\) वाली असमानताएं प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की दिशा का क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) inequalities give the upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corner points are ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), and ((0,4)). Hence there are (4) corners.
नीचे या उसी पर होने से \(\leq\) लगेगा और प्रथम चतुर्थांश के लिए \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) चाहिए। ठोस सीमा रेखा बनती है। / Below or on the line means \(\leq\), and the first quadrant needs \(x\geq 0\), \(y\geq 0\). The boundary line is solid.
A. यह हल है और सीमा पर है/It is a solution and lies on a boundary
Explanation
Simple Explanation
((9,0)) पर (x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। यह दोनों शर्तें पूरी करता है और एक सीमा पर है। / At ((9,0)), (x+y=9) and (x+2y=9). It satisfies both conditions and lies on a boundary.
दोनों असमानताएं रेखाओं के ऊपर वाले भाग को चुनती हैं और प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र ऊपर की ओर अनंत है। \(\geq\) होने से सीमाएं शामिल हैं। / Both inequalities select the upper sides of the lines, and in the first quadrant the region extends infinitely. Since \(\geq\) is used, boundaries are included.
(x=0) पर शर्तें \(y\le 10\) और \(3y\le 18\) देती हैं, इसलिए अधिकतम (y=6)। किसी चर का अधिकतम पाने के लिए उस दिशा की कठोर सीमा देखें। / At (x=0), the conditions give \(y\le 10\) and \(3y\le 18\), so the maximum is (y=6). To maximize a variable, look for the tightest bound in that direction.
अवरोध ((15,0)) और ((0,10)) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\)। पहले अवरोध निकालना सबसे तेज तरीका है। / The intercepts are ((15,0)) and ((0,10)), so the area is \(\frac{1}{2}\times 15\times 10=75\). Finding intercepts first is the fastest method.
\(x+y\ge 5\) वाला प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र बाहर की ओर अनंत फैलता है। बंद बहुभुज के लिए हर दिशा में सीमा चाहिए। / The first-quadrant region \(x+y\ge 5\) extends outward infinitely. A closed polygon needs bounds in every direction.
A. \(x+y\le 6\), \(x+y\ge 6\), \(x\ge 0\), \(y\ge 0\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों \(x+y\le 6\) और \(x+y\ge 6\) मिलकर (x+y=6) बनाते हैं। बराबरी को दो विपरीत असमानताओं से लिखा जा सकता है। / Together \(x+y\le 6\) and \(x+y\ge 6\) force (x+y=6). Equality can be written using two opposite inequalities.
ऊपरी सीमा \(2x+3y\le 18\) और प्रथम चतुर्थांश क्षेत्र को सीमित करते हैं। निचली रेखा \(x+y\ge 4\) केवल अंदर का हिस्सा काटती है। / The upper bound \(2x+3y\le 18\) and the first quadrant make the region bounded. The lower line \(x+y\ge 4\) only cuts an inner part.
