B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
A. उच्च स्थानिक जैव विविधता और ड्रैगन ब्लड वृक्ष/High endemic biodiversity and dragon blood tree
Step 1
Concept
Socotra has many endemic species and its ecological value is very special. For exams remember Yemen and endemism.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. उच्च स्थानिक जैव विविधता और ड्रैगन ब्लड वृक्ष / High endemic biodiversity and dragon blood tree. Socotra has many endemic species and its ecological value is very special. For exams remember Yemen and endemism.
Step 3
Exam Tip
सोकोत्रा में कई स्थानिक प्रजातियां मिलती हैं और इसका पारिस्थितिक मूल्य अत्यंत विशेष है। परीक्षा में यमन और स्थानिकता याद रखें।
C. उन्होंने दासता विरोधी हैती क्रांति में नेतृत्व दिया/He led in the anti slavery Haitian Revolution
Step 1
Concept
Toussaint Louverture is a symbol of slave emancipation and anti colonial struggle. Exam tip: specially remember the Haitian Revolution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. उन्होंने दासता विरोधी हैती क्रांति में नेतृत्व दिया / He led in the anti slavery Haitian Revolution. Toussaint Louverture is a symbol of slave emancipation and anti colonial struggle. Exam tip: specially remember the Haitian Revolution.
Step 3
Exam Tip
तूसां लूवेरतूर दास मुक्ति और उपनिवेश विरोधी संघर्ष के प्रतीक हैं। परीक्षा में हैती क्रांति को विशेष रूप से याद रखें।
C. वह दिल्ली सल्तनत की प्रमुख महिला शासक थी/She was a notable woman ruler of Delhi Sultanate
Step 1
Concept
Razia Sultan is regarded as the only major woman ruler of the Delhi Sultanate. Remember her as Iltutmish's daughter in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. वह दिल्ली सल्तनत की प्रमुख महिला शासक थी / She was a notable woman ruler of Delhi Sultanate. Razia Sultan is regarded as the only major woman ruler of the Delhi Sultanate. Remember her as Iltutmish's daughter in exams.
Step 3
Exam Tip
रजिया सुल्तान दिल्ली सल्तनत की एकमात्र प्रमुख महिला शासक मानी जाती है। परीक्षा में उसे इल्तुतमिश की पुत्री के रूप में याद रखें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से याद रखें।
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) can be written as a product of prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
This form is unique apart from order, and this comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। चरण 2: यह रूप क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है, और यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
B. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
Every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from the order.
Step 2
Why this answer is correct
This comes from the fundamental theorem of arithmetic.
Step 3
Exam Tip
Remember uniqueness of prime factorisation with this theorem. चरण 1: (1) से बड़ी हर पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: यह बात अंकगणित के मूल प्रमेय से आती है। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को इसी प्रमेय से जोड़कर याद रखें।
A. हर (1) से बड़ी पूर्ण संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही मूल रूप में लिखा जा सकता है/Every integer greater than (1) can be written as a product of primes in one basic way
Step 1
Concept
The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation except for order.
Step 2
Why this answer is correct
Option A states this correctly.
Step 3
Exam Tip
Unique means the same prime factors appear, only their order may change. चरण 1: अंकगणित का मूल सिद्धांत कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। चरण 2: विकल्प A यही बात सही ढंग से कहता है। चरण 3: अद्वितीयता का अर्थ है कि गुणनखंड वही रहेंगे, केवल क्रम बदल सकता है।
A. अभाज्य गुणनखंडों का समूह क्रम को छोड़कर निश्चित रहता है/The set of prime factors remains fixed except for order
Step 1
Concept
This theorem says that the prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime factors do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
A. गुणनखंडों का क्रम बदल सकता है पर अभाज्य गुणनखंड वही रहते हैं/The order of factors may change but the prime factors remain the same
Step 1
Concept
The theorem says that prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
Changing the order does not change the product, such as \(2\times3\times5\) and \(5\times2\times3\).
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a different factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, जैसे \(2\times3\times5\) और \(5\times2\times3\)। चरण 3: परीक्षा में क्रम देखकर अलग गुणनखंडन न मानें।
A. अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलने पर भी वही रहते हैं/Prime factors remain the same even if their order changes
Step 1
Concept
Uniqueness means the set of prime factors is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, such as \(2\times3\) and \(3\times2\), but the factors remain the same.
Step 3
Exam Tip
Do not get confused by the order of factors. चरण 1: अद्वितीयता का अर्थ है कि अभाज्य गुणनखंडों का समूह निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, जैसे \(2\times3\) और \(3\times2\), पर गुणनखंड वही रहते हैं। चरण 3: उत्तर में क्रम को लेकर भ्रम न करें।
