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\(S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\) है। विषम (n) में अगले सम गुणक को आधा करें। / \(S_{47}=\frac{47\times48}{2}=1128\). For odd (n), halve the next even factor.
\(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\) इसलिए (n=33) है। विकल्पों को सूत्र में रखकर जांचना तेज होता है। / \(S_{33}=\frac{33\times34}{2}=561\), so (n=33). Checking options in the formula is fast.
योग \(S_{29}-S_{11}=435-66=369\) होगा। जब क्रम (1) से शुरू न हो तो पहले वाले पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{29}-S_{11}=435-66=369\). When the sequence does not start from (1), subtract the previous terms' sum.
कुल प्रश्न \(S_{38}=\frac{38\times39}{2}=741\) होंगे। रोज (1) की वृद्धि प्राकृतिक संख्याओं का योग बनाती है। / Total questions are \(S_{38}=\frac{38\times39}{2}=741\). A daily increase of (1) forms the sum of natural numbers.
\(S_{22}=253\) और \(S_{17}=153\) इसलिए योग (406) है। पहले दोनों योग अलग-अलग निकालें। / \(S_{22}=253\) and \(S_{17}=153\), so the sum is (406). Find both sums separately first.
\(S_{43}=\frac{43\times44}{2}=946\) इसलिए (n=43) है। \(2S_n\) को दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{43}=\frac{43\times44}{2}=946\), so (n=43). Match \(2S_n\) with the product of two consecutive numbers.
\(S_{35}=630\) और \(S_{19}=190\) इसलिए अंतर (440) है। यह (20) से (35) तक का योग भी है। / \(S_{35}=630\) and \(S_{19}=190\), so the difference is (440). It is also the sum from (20) to (35).
कुल सीटें \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\) हैं। पंक्ति संख्या के बराबर सीटें हों तो \(S_n\) लगाएं। / Total seats are \(S_{26}=\frac{26\times27}{2}=351\). If seats equal the row number, use \(S_n\).
\(S_{54}=1485\) है और \(2\times1485=2970\) है। पहले पूरा योग निकालें फिर गुणा करें। / \(S_{54}=1485\), and \(2\times1485=2970\). First find the total sum and then multiply.
अंतिम (6) पदों का योग (35+36+37+38+39+40=225) है। अंतिम पदों के लिए पूरा \(S_{40}\) निकालना जरूरी नहीं है। / The sum of the last (6) terms is (35+36+37+38+39+40=225). For last terms, finding full \(S_{40}\) is not necessary.
\(S_{34}=S_{31}+32+33+34=595\) है। आगे बढ़ते समय बीच के सभी नए पद जोड़ें। / \(S_{34}=S_{31}+32+33+34=595\). While moving ahead, add all new terms in between.
अंतर (56+57+58=171) है। पास के दो योगों का अंतर बीच के पदों का योग होता है। / The difference is (56+57+58=171). The difference of nearby sums equals the sum of the terms in between.
\(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\) इसलिए (n=46) है। बड़े योग में विकल्पों से जांच करना उपयोगी है। / \(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\), so (n=46). Checking with options is useful for larger sums.
कुल बिंदु \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\) हैं। (r)वीं पंक्ति में (r) बिंदु होना प्राकृतिक संख्याओं का योग है। / Total dots are \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\). Having (r) dots in the (r)th row is the sum of natural numbers.
\(S_{28}=406\) है इसलिए \(S_{28}+28=434\)। इसे \(S_{29}\) समझने की गलती न करें। / \(S_{28}=406\), so \(S_{28}+28=434\). Do not mistake it for \(S_{29}\).
\(S_{65}=2145\) और (2145-1500=645) है। पहले योग निकालें फिर दी गई क्रिया करें। / \(S_{65}=2145\), and (2145-1500=645). First find the sum and then perform the given operation.
\(S_{27}=378\) और \(S_{32}=528\) इसलिए (q-p=5)। पहले दोनों सूचकांक पहचानना जरूरी है। / \(S_{27}=378\) and \(S_{32}=528\), so (q-p=5). Identifying both indices first is important.
योग \(S_{36}-S_{17}=666-153=513\) है। शुरू होने से पहले वाले (17) पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{36}-S_{17}=666-153=513\). Subtract the sum of the (17) terms before the start.
\(S_{36}=666\) इसलिए \(S_{38}=666+37+38=741\)। दो आगे जाने पर अगले दो पद जोड़ें। / \(S_{36}=666\), so \(S_{38}=666+37+38=741\). To move two steps ahead, add the next two terms.
\(S_{71}=S_{72}-72=2628-72=2556\) है। पिछले योग के लिए अंतिम पद घटाएं। / \(S_{71}=S_{72}-72=2628-72=2556\). For the previous sum, subtract the last term.
\(S_{24}=300\) और \(S_{26}=351\) इसलिए योग (651) है। समान दिखने वाले सूचकांकों को ध्यान से पढ़ें। / \(S_{24}=300\) and \(S_{26}=351\), so the sum is (651). Read similar-looking indices carefully.
\(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\) इसलिए (n=48) है। उत्तर को सूत्र में वापस रखकर सत्यापित करें। / \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\), so (n=48). Verify the answer by substituting it back in the formula.
\(S_{44}=990\) और \(S_{30}=465\) इसलिए अंतर (525) है। यह (31) से (44) तक का योग है। / \(S_{44}=990\) and \(S_{30}=465\), so the difference is (525). This is the sum from (31) to (44).
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\) इसलिए (n=55) है। बड़े योग में \(2S_n\) देखकर पहचानें। / \(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\), so (n=55). For a large sum, identify using \(2S_n\).
\(1+2+\cdots+37+38+39=S_{39}\) होता है। लगातार नए पद जोड़ने पर अंतिम पद नया (n) बनता है। / \(1+2+\cdots+37+38+39=S_{39}\). When consecutive new terms are added, the last term becomes the new (n).
कुल बचत \(S_{49}=\frac{49\times50}{2}=1225\) रुपये है। नियमित (1) की वृद्धि \(S_n\) देती है। / Total saving is \(S_{49}=\frac{49\times50}{2}=1225\) rupees. A regular increase of (1) gives \(S_n\).
\(S_{21}=231\) है और \(4\times231=924\)। पहले योग निकालकर फिर गुणा करें। / \(S_{21}=231\), and \(4\times231=924\). First find the sum and then multiply.
\(S_{53}=\frac{53\times54}{2}=1431\) इसलिए (n=53) है। \(2S_n\) को क्रमागत गुणनफल से मिलाएं। / \(S_{53}=\frac{53\times54}{2}=1431\), so (n=53). Match \(2S_n\) with a consecutive product.
\(S_{39}=780\) और (780-39=741) है। अंतिम पद घटाने पर \(S_{38}\) मिलता है। / \(S_{39}=780\), and (780-39=741). Subtracting the last term gives \(S_{38}\).
योग \(S_{34}-S_{22}=595-253=342\) है। आरंभ से पहले वाले पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{34}-S_{22}=595-253=342\). Subtract the sum of terms before the start.
\(S_n-S_{n-1}=n\) होता है इसलिए (n=62)। दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=62). The difference of two consecutive sums is the new term.
\(S_{45}+46+47+48=S_{48}\) होता है। लगातार पद जोड़ने पर नया अंतिम पद सूचकांक बनता है। / \(S_{45}+46+47+48=S_{48}\). When consecutive terms are added, the new last term becomes the index.
\(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\) है। अनुपात को समान गुणक से भाग देकर सरल करें। / \(S_{30}:S_{15}=465:120=31:8\). Simplify the ratio by dividing by a common factor.
कुल फूल \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) हैं। त्रिभुजाकार पंक्तियां \(S_n\) का संकेत देती हैं। / Total flowers are \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\). Triangular rows indicate \(S_n\).
दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है इसलिए \(S_{64}-S_{63}=64\)। पूरा योग निकाले बिना उत्तर मिल सकता है। / The difference of two consecutive sums is the new term, so \(S_{64}-S_{63}=64\). You can answer without finding full sums.
\(S_{21}=231\) इसलिए (t=21) और (t+5=26)। पहले चर का मान निकालें फिर पूछा गया मान दें। / \(S_{21}=231\), so (t=21) and (t+5=26). First find the variable and then answer what is asked.
\(S_{68}=\frac{68\times69}{2}=2346\) है। (68) का आधा (34) लेकर \(34\times69\) करें। / \(S_{68}=\frac{68\times69}{2}=2346\). Take half of (68) as (34) and calculate \(34\times69\).
\(S_{13}=91\), \(S_{16}=136\) और \(S_{20}=210\) इसलिए कुल (437) है। तीन योगों को अलग-अलग लिखकर जोड़ें। / \(S_{13}=91\), \(S_{16}=136\), and \(S_{20}=210\), so the total is (437). Write the three sums separately and add.
\(S_{40}=820\) और \(S_{45}=1035\) इसलिए (b-a=5)। पहले दोनों योगों के सूचकांक पहचानें। / \(S_{40}=820\) and \(S_{45}=1035\), so (b-a=5). First identify the indices of both sums.
यह \(S_{55}\) बनेगा और \(S_{55}=1540\) है। लगातार अगले पद जोड़ने पर नया अंतिम पद (n) होता है। / This becomes \(S_{55}\), and \(S_{55}=1540\). Adding consecutive next terms makes the new last term (n).
\(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\) है। बड़े (n) में पहले (2) से कटौती करें। / \(S_{80}=\frac{80\times81}{2}=3240\). For large (n), cancel by (2) first.
\(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\) इसलिए (n=56)। उत्तर को सूत्र में रखकर जांचें। / \(S_{56}=\frac{56\times57}{2}=1596\), so (n=56). Check the answer by substituting it in the formula.
\(S_{25}=325\) और \(S_{27}=378\) इसलिए योग (703) है। पास-पास के सूचकांक देखकर गलती न करें। / \(S_{25}=325\) and \(S_{27}=378\), so the sum is (703). Do not make a mistake with nearby indices.
अंतर (63+64+65+66+67=325) है। दो योगों का अंतर बीच के पदों का योग देता है। / The difference is (63+64+65+66+67=325). The difference of two sums gives the sum of the terms in between.
\(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\) है। सम संख्या को पहले (2) से भाग देने पर गणना आसान होती है। / \(S_{48}=\frac{48\times49}{2}=1176\). Divide the even number by (2) first to make calculation easier.
\(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\) इसलिए (n=28) है। विकल्पों को सूत्र में रखकर जल्दी जांच सकते हैं। / \(S_{28}=\frac{28\times29}{2}=406\), so (n=28). You can quickly check by substituting the options in the formula.
योग \(S_{35}-S_{20}=630-210=420\) होगा। जब क्रम (1) से शुरू न हो तो दो योगों का अंतर लें। / The sum is \(S_{35}-S_{20}=630-210=420\). When the sequence does not start from (1), take the difference of two sums.
कुल प्रश्न \(1+2+\cdots+24=300\) होंगे। ऐसे दैनिक बढ़ते पैटर्न में \(S_n\) पहचानें। / Total questions are \(1+2+\cdots+24=300\). In such daily increasing patterns, identify \(S_n\).
\(S_{18}=171\) और \(S_{12}=78\) इसलिए कुल (249) है। पहले अलग-अलग योग निकालें फिर जोड़ें। / \(S_{18}=171\) and \(S_{12}=78\), so the total is (249). Find each sum separately and then add.
\(S_{34}=\frac{34\times35}{2}=595\) इसलिए (n=34) है। दिए गए योग को पास के त्रिभुज संख्याओं से मिलाएं। / \(S_{34}=\frac{34\times35}{2}=595\), so (n=34). Match the given sum with nearby triangular numbers.
\(S_{30}=465\) और \(S_{18}=171\) इसलिए अंतर (294) है। अंतर निकालते समय दोनों योग सही लिखें। / \(S_{30}=465\) and \(S_{18}=171\), so the difference is (294). Write both sums correctly before subtracting.
कुल कुर्सियाँ \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\) हैं। पंक्ति संख्या के अनुसार बढ़ता पैटर्न \(S_n\) बनाता है। / Total chairs are \(S_{32}=\frac{32\times33}{2}=528\). A pattern increasing by row number forms \(S_n\).
\(S_{40}=820\) है और उसका आधा (410) है। पहले पूरा योग निकालें फिर शर्त लागू करें। / \(S_{40}=820\), and half of it is (410). First find the total sum and then apply the condition.
अंतिम (5) पद (41+42+43+44+45=215) हैं। अंतिम पद पूछे जाएं तो पूरा योग निकालना जरूरी नहीं होता। / The last (5) terms are (41+42+43+44+45=215). If last terms are asked, finding the total sum is not necessary.
अंतर \(S_{36}-S_{30}=666-465=201\) है। यह (31) से (36) तक के योग के बराबर होता है। / The difference is \(S_{36}-S_{30}=666-465=201\). It equals the sum from (31) to (36).
\(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\) इसलिए (n=39) है। ऐसे प्रश्नों में (n(n+1)) को \(2S_n\) से मिलाएं। / \(S_{39}=\frac{39\times40}{2}=780\), so (n=39). In such questions, match (n(n+1)) with \(2S_n\).
कुल बिंदु \(S_{27}=\frac{27\times28}{2}=378\) होंगे। (k)वीं पंक्ति में (k) बिंदु होना प्राकृतिक संख्याओं का योग दिखाता है। / Total dots are \(S_{27}=\frac{27\times28}{2}=378\). Having (k) dots in the (k)th row shows the sum of natural numbers.
\(S_{16}=136\) है इसलिए \(S_{16}+16=152\)। गणना में \(S_{16}\) को दोबारा \(S_{17}\) न समझें। / \(S_{16}=136\), so \(S_{16}+16=152\). Do not mistake \(S_{16}+16\) for \(S_{17}\).
\(S_{50}=1275\) और (1275-1000=275) है। पहले योग निकालें फिर दी गई क्रिया करें। / \(S_{50}=1275\), and (1275-1000=275). First find the sum and then perform the given operation.
\(S_{20}=210\) और \(S_{25}=325\) इसलिए (n-m=5)। पहले दोनों सूचकांक पहचानें। / \(S_{20}=210\) and \(S_{25}=325\), so (n-m=5). Identify both indices first.
योग \(S_{30}-S_{10}=465-55=410\) है। (11) से शुरू होने पर पहले (10) पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{30}-S_{10}=465-55=410\). When it starts from (11), subtract the sum of the first (10) terms.
\(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\) है। (44) का आधा (22) लेकर \(22\times45\) करें। / \(S_{44}=\frac{44\times45}{2}=990\). Take half of (44) as (22) and calculate \(22\times45\).
\(S_{31}=496\) इसलिए \(S_{32}=496+32=528\)। \(S_{n+1}\) के लिए अगला पद (n+1) जोड़ें। / \(S_{31}=496\), so \(S_{32}=496+32=528\). For \(S_{n+1}\), add the next term (n+1).
\(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\)। पिछले योग के लिए अंतिम पद घटा दें। / \(S_{59}=S_{60}-60=1830-60=1770\). For the previous sum, subtract the last term.
\(S_{14}=105\) और \(S_{15}=120\) इसलिए योग (225) है। समान दिखने वाले दो योगों को अलग-अलग निकालें। / \(S_{14}=105\) and \(S_{15}=120\), so the sum is (225). Find the two similar-looking sums separately.
\(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\) इसलिए (n=42)। \(2S_n\) करके दो क्रमागत संख्याओं का गुणनफल देखें। / \(S_{42}=\frac{42\times43}{2}=903\), so (n=42). Use \(2S_n\) to see the product of two consecutive numbers.
कुल अंक केवल \(S_{15}=120\) होंगे। अतिरिक्त शून्य अंक योग को नहीं बदलते। / The total score is only \(S_{15}=120\). Extra zero marks do not change the sum.
\(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\) है। (52) को आधा करके \(26\times53\) करें। / \(S_{52}=\frac{52\times53}{2}=1378\). Halve (52) and calculate \(26\times53\).
\(S_{33}=561\) और \(S_{22}=253\) इसलिए अंतर (308) है। यह (23) से (33) तक का योग भी है। / \(S_{33}=561\) and \(S_{22}=253\), so the difference is (308). It is also the sum from (23) to (33).
\(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\) इसलिए (n=45)। बड़े योग में विकल्प जांचना समय बचाता है। / \(S_{45}=\frac{45\times46}{2}=1035\), so (n=45). Checking options saves time in larger sums.
\(1+2+\cdots+19+20=S_{20}\) होता है। अगला पद जोड़ने पर अगला आंशिक योग मिलता है। / \(1+2+\cdots+19+20=S_{20}\). Adding the next term gives the next partial sum.
कुल बचत \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=496\) रुपये है। दैनिक वृद्धि (1) हो तो प्राकृतिक संख्याओं का योग बनता है। / Total saving is \(S_{31}=\frac{31\times32}{2}=496\) rupees. A daily increase of (1) forms the sum of natural numbers.
\(S_{26}=351\) और (351-26=325) है। अंतिम पद घटाने पर \(S_{25}\) मिल जाता है। / \(S_{26}=351\), and (351-26=325). Subtracting the last term gives \(S_{25}\).
योग \(S_{25}-S_{15}=325-120=205\) है। शुरू होने से पहले वाले पदों का योग घटाएं। / The sum is \(S_{25}-S_{15}=325-120=205\). Subtract the sum of the terms before the starting point.
\(S_n-S_{n-1}=n\) होता है इसलिए (n=37)। दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=37). The difference of two consecutive sums is the new term.
\(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\) है। विषम (n) में अगले सम गुणक को आधा करना आसान है। / \(S_{55}=\frac{55\times56}{2}=1540\). For odd (n), halving the next even factor is easier.
\(S_{29}+30+31=S_{31}\) होता है। लगातार अगले पद जोड़ने से नया आंशिक योग बनता है। / \(S_{29}+30+31=S_{31}\). Adding consecutive next terms gives the new partial sum.
\(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\) है। अनुपात में दोनों संख्याओं को समान गुणक से सरल करें। / \(S_{20}:S_{10}=210:55=42:11\). Simplify a ratio by dividing both numbers by a common factor.
कुल मोती \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\) हैं। त्रिभुजाकार पंक्तियां अक्सर प्राकृतिक संख्याओं का योग देती हैं। / Total beads are \(S_{19}=\frac{19\times20}{2}=190\). Triangular rows often give the sum of natural numbers.
दो लगातार योगों का अंतर नया पद होता है इसलिए \(S_{41}-S_{40}=41\)। पूरा योग निकाले बिना भी उत्तर मिल सकता है। / The difference of two consecutive sums is the new term, so \(S_{41}-S_{40}=41\). You can answer without finding the full sums.
\(S_{17}=153\) इसलिए (r=17) और (r+2=19)। पहले चर का मान निकालें फिर पूछा गया मान दें। / \(S_{17}=153\), so (r=17) and (r+2=19). First find the variable and then answer what is asked.
\(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\) है। (46) का आधा (23) लेकर \(23\times47\) करें। / \(S_{46}=\frac{46\times47}{2}=1081\). Take half of (46) as (23) and calculate \(23\times47\).
\(S_{12}=78\), \(S_{13}=91\) और \(S_{14}=105\) इसलिए कुल (274) नहीं बल्कि (274) है। / \(S_{12}=78\), \(S_{13}=91\), and \(S_{14}=105\), so the total is (274). Add carefully to avoid option traps.
\(S_{26}=351\) और \(S_{30}=465\) इसलिए (b-a=4)। पहले दोनों योगों के सूचकांक पहचानें। / \(S_{26}=351\) and \(S_{30}=465\), so (b-a=4). Identify the indices of both sums first.
यह \(S_{31}\) बनेगा और \(S_{31}=496\) है। लगातार पद जुड़ने पर अंतिम पद नया (n) बन जाता है। / This becomes \(S_{31}\), and \(S_{31}=496\). When consecutive terms are added, the last term becomes the new (n).
\(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\) है। बड़े (n) में पहले (2) से कटौती करें। / \(S_{70}=\frac{70\times71}{2}=2485\). For large (n), cancel by (2) first.
\(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\) इसलिए (n=24)। उत्तर मिलते ही सूत्र में वापस जांच करें। / \(S_{24}=\frac{24\times25}{2}=300\), so (n=24). After finding the answer, verify it in the formula.
\(S_{37}=703\) और \(S_{38}=741\) इसलिए योग (1444) है। पास-पास के योगों में एक पद का अंतर ध्यान रखें। / \(S_{37}=703\) and \(S_{38}=741\), so the sum is (1444). Notice the one-term difference in nearby sums.
अंतर (61+62+63+64=250) है। पास के दो योगों का अंतर बीच के पदों का योग होता है। / The difference is (61+62+63+64=250). The difference of two nearby sums equals the sum of the terms in between.
\(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\) है। दो आगे के योग के लिए बीच के दोनों नए पद जोड़ें। / \(S_{54}=S_{52}+53+54=1378+107=1485\). To move two sums ahead, add both new terms.
\(S_{43}=\frac{43\cdot44}{2}=946\)। सम संख्या को पहले (2) से भाग देना आसान होता है। / \(S_{43}=\frac{43\cdot44}{2}=946\). Dividing the even number by (2) first makes it easy.
\(\frac{45\cdot46}{2}=1035\), इसलिए (n=45)। ऐसे प्रश्नों में विकल्पों को सूत्र में रखकर जांचें। / \(\frac{45\cdot46}{2}=1035\), so (n=45). In such questions, check the options in the formula.
योग \(S_{40}-S_{30}=820-465=355\) है। सीमा से पहले तक का योग घटाना न भूलें। / The sum is \(S_{40}-S_{30}=820-465=355\). Do not forget to subtract the sum before the lower limit.
\(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\)। दोनों योग अलग-अलग निकालकर अंतर लें। / \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\). Find both sums separately and then take the difference.
\(1225=S_{49}\), इसलिए \(S_{51}=\frac{51\cdot52}{2}=1326\)। पहले (n) पहचानें फिर नया योग निकालें। / \(1225=S_{49}\), so \(S_{51}=\frac{51\cdot52}{2}=1326\). First identify (n) and then find the new sum.
\(S_n-S_{n-1}=n\) होता है, इसलिए (n=42)। दो क्रमिक योगों का अंतर अगला पद होता है। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=42). The difference of two consecutive sums is the next term.
\(666=S_{36}\), इसलिए \(S_{37}=\frac{37\cdot38}{2}=703\)। अगले योग में अगला पद जुड़ता है। / \(666=S_{36}\), so \(S_{37}=\frac{37\cdot38}{2}=703\). The next sum adds the next term.
योग \(S_{50}-S_{40}=1275-820=455\) है। बीच की श्रेणी के लिए पिछले योग को घटाएं। / The sum is \(S_{50}-S_{40}=1275-820=455\). For a middle range, subtract the previous sum.
\(\frac{59\cdot60}{2}=1770\), इसलिए (n=59)। विकल्पों को सूत्र से मिलाकर उत्तर तय करें। / \(\frac{59\cdot60}{2}=1770\), so (n=59). Decide the answer by matching options with the formula.
योग \(S_{35}-S_{25}=630-325=305\) है। (26) से शुरू हो तो (25) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{35}-S_{25}=630-325=305\). If it starts from (26), subtract the sum up to (25).
\(990=S_{44}\), इसलिए \(S_{42}=\frac{42\cdot43}{2}=903\)। (n) पहचानकर दो पद पीछे जाएं। / \(990=S_{44}\), so \(S_{42}=\frac{42\cdot43}{2}=903\). Identify (n) and move two terms back.
\(S_{64}=\frac{64\cdot65}{2}=2080\)। बड़े योग के लिए सूत्र का सीधा उपयोग करें। / \(S_{64}=\frac{64\cdot65}{2}=2080\). Use the formula directly for large sums.
\(\frac{53\cdot54}{2}=1431\), इसलिए (n=53)। उत्तर को सूत्र से सत्यापित करें। / \(\frac{53\cdot54}{2}=1431\), so (n=53). Verify the answer with the formula.
योग \(S_{60}-S_{50}=1830-1275=555\) है। यह लगातार (10) संख्याओं का योग है। / The sum is \(S_{60}-S_{50}=1830-1275=555\). This is the sum of (10) consecutive numbers.
\(300=S_{24}\), इसलिए \(S_{27}=\frac{27\cdot28}{2}=378\)। पहले (n) पहचानें फिर (3) आगे बढ़ें। / \(300=S_{24}\), so \(S_{27}=\frac{27\cdot28}{2}=378\). Identify (n) first and then move (3) ahead.
(S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3) है। (3n-3=114) से (n=39) नहीं बल्कि विकल्पों में सही मान नहीं है। / (S_n-S_{n-3}=(n-2)+(n-1)+n=3n-3). From (3n-3=114), (n=39), so no listed option is correct.
योग \(S_{45}-S_{35}=1035-630=405\) है। (36) से शुरू हो तो (35) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{45}-S_{35}=1035-630=405\). If it starts from (36), subtract the sum up to (35).
\(\frac{64\cdot65}{2}=2080\), इसलिए (n=64)। बड़े (n) में विकल्पों से मिलान करें। / \(\frac{64\cdot65}{2}=2080\), so (n=64). For large (n), match using the options.
\(1176=S_{48}\), इसलिए \(S_{47}=1128\)। पिछले योग के लिए (n)वां पद घटा सकते हैं। / \(1176=S_{48}\), so \(S_{47}=1128\). For the previous sum, you can subtract the (n)th term.
\(231=S_{21}\), इसलिए \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\)। दिए गए (n) को पहचानकर (4) आगे बढ़ें। / \(231=S_{21}\), so \(S_{25}=\frac{25\cdot26}{2}=325\). Identify the given (n) and move (4) ahead.
योग \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\) है। लगातार (10) पदों का औसत \(\frac{46+55}{2}\) भी ले सकते हैं। / The sum is \(S_{55}-S_{45}=1540-1035=505\). You can also use the average of (10) consecutive terms.
\(S_{29}-S_{20}=435-210=225\) नहीं होता, इसलिए विकल्पों को दोबारा जांचना चाहिए। सही मान (30) है क्योंकि (465-210=255) भी नहीं है। / The options should be checked carefully because \(S_n-S_{20}=250\) does not match the listed values. No listed option gives exactly (250).
\(S_{28}-S_{14}=406-105=301\)। अंतर निकालते समय छोटे योग को घटाएं। / \(S_{28}-S_{14}=406-105=301\). Subtract the smaller sum while finding the difference.
\(\frac{55\cdot56}{2}=1540\), इसलिए (n=55)। विकल्पों को सूत्र में रखकर मिलाएं। / \(\frac{55\cdot56}{2}=1540\), so (n=55). Match the options by putting them in the formula.
योग \(S_{80}-S_{70}=3240-2485=755\) है। यह (10) लगातार संख्याओं का योग है। / The sum is \(S_{80}-S_{70}=3240-2485=755\). This is the sum of (10) consecutive numbers.
\(2850=S_{75}\), इसलिए \(S_{70}=2485\)। पहले (n) पहचानकर (5) कम करें। / \(2850=S_{75}\), so \(S_{70}=2485\). First identify (n) and then reduce it by (5).
\(S_n-S_{n-1}=n\), इसलिए (n=68) और \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\)। अंतर से (n) पहचानें। / \(S_n-S_{n-1}=n\), so (n=68) and \(S_{68}=\frac{68\cdot69}{2}=2346\). Identify (n) from the difference.
योग \(S_{65}-S_{55}=2145-1540=605\) है। बीच की संख्याओं के लिए घटाव विधि उपयोगी है। / The sum is \(S_{65}-S_{55}=2145-1540=605\). The subtraction method is useful for middle numbers.
\(S_{36}+37+38=S_{38}\) होता है। लगातार अगले पद जोड़ने से आगे का आंशिक योग मिलता है। / \(S_{36}+37+38=S_{38}\). Adding consecutive next terms gives the later partial sum.
\(\frac{63\cdot64}{2}=2016\), इसलिए (n=63)। सूत्र से विकल्पों का मिलान करें। / \(\frac{63\cdot64}{2}=2016\), so (n=63). Match the options using the formula.
\(\frac{66\cdot67}{2}=2211\), इसलिए (n=66)। गुणा करने से पहले सम संख्या को आधा करें। / \(\frac{66\cdot67}{2}=2211\), so (n=66). Halve the even number before multiplying.
योग \(S_{75}-S_{60}=2850-1830=1020\) है। (61) से शुरू हो तो (60) तक का योग घटाएं। / The sum is \(S_{75}-S_{60}=2850-1830=1020\). If it starts from (61), subtract the sum up to (60).
\(3240=S_{80}\), इसलिए \(S_{81}-S_{80}=81\)। अगले योग में अगली संख्या जुड़ती है। / \(3240=S_{80}\), so \(S_{81}-S_{80}=81\). The next sum adds the next number.
योग \(S_{90}-S_{80}=4095-3240=855\) है। बड़े योग से पहले का योग घटाएं। / The sum is \(S_{90}-S_{80}=4095-3240=855\). Subtract the previous sum from the larger sum.
\(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), इसलिए (n=73)। विकल्पों को सूत्र में रखकर सत्यापित करें। / \(\frac{73\cdot74}{2}=2701\), so (n=73). Verify the options by substituting them in the formula.
\(S_{40}=820\), इसलिए \(\frac{1}{4}\) भाग (205) है। पहले योग निकालें फिर भाग दें। / \(S_{40}=820\), so \(\frac{1}{4}\) of it is (205). First find the sum and then divide.
\(\frac{99\cdot100}{2}=4950\), इसलिए (n=99)। सम संख्या को आधा कर गणना सरल करें। / \(\frac{99\cdot100}{2}=4950\), so (n=99). Halve the even number to simplify calculation.
योग \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\) है। अंतिम (10) संख्याओं का योग घटाव से जल्दी मिलता है। / The sum is \(S_{100}-S_{90}=5050-4095=955\). The sum of the last (10) numbers is quickly found by subtraction.
\(3160=S_{79}\), इसलिए \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\) नहीं बल्कि सही मान (385) है। विकल्पों को अंतिम गणना से जरूर मिलाएं। / \(3160=S_{79}\), so \(S_{79}-S_{74}=75+76+77+78+79=385\), not (390). Always match options with the final calculation.
