Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_5=a_1+4d\), इसलिए \(28=a_1+28\) और \(a_1=0\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_5=a_1+4d\), so \(28=a_1+28\) and \(a_1=0\). To move backward from a given term, subtract common differences.
(9n-4=113) से (9n=117) और (n=13)। पद की स्थिति के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (9n-4=113), (9n=117) and (n=13). To find the position, set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(3x+6)=(2x+1)+(5x+5)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_{11}-a_3=8d=56\), इसलिए (d=7) और (a_7=16+4(7)=44)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{11}-a_3=8d=56\), so (d=7) and (a_7=16+4(7)=44). Find the common difference first.
पद \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (7)वाँ है। दिए विकल्पों में (7)वाँ सही है। / The terms are \(31,25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (7)th. Among the options, the (7)th is correct.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=8), इसलिए अंतर (72) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), and (d=8), so the difference is (72). Term difference depends on position difference.
पहले (6) पद (14,19,24,29,34,39) हैं और योग (159) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (6) terms are (14,19,24,29,34,39), and their sum is (159). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_{12}-a_5=7d=42\), इसलिए (d=6) और (a_1=26-4(6)=2)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_{12}-a_5=7d=42\), so (d=6) and (a_1=26-4(6)=2). From middle terms, first find (d).
(72+(n-1)(-8)=0) से (8(n-1)=72) और (n=10)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (72+(n-1)(-8)=0), (8(n-1)=72) and (n=10). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)) से (x=7), इसलिए पद (19,31,43) और अंतर (12) है। पहले (x) निकालें फिर अंतर निकालें। / From (2(4x+3)=(3x-2)+(6x+1)), (x=7), so the terms are (19,31,43) and the difference is (12). First find (x), then find the difference.
पद \(22,17,12,7,2,-3,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(22,17,12,7,2,-3,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
पहला पद (11) और (d=9) है, इसलिए (a_n=11+(n-1)9=9n+2)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (11) and (d=9), so (a_n=11+(n-1)9=9n+2). You can check an option by putting (n=1).
सामान्य पद \(a_n=5n+9\) है और (120) से छोटा सबसे बड़ा पद (119) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+9\), and the greatest term below (120) is (119). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=43\) और \(a_9=18\), इसलिए योग (61) नहीं बल्कि (61) है। सही विकल्पों में (61) होना चाहिए। / \(a_4=43\) and \(a_9=18\), so the sum is (61). The correct option should include (61).
\(a_{13}-a_8=5d=35\), इसलिए (d=7) और (a_1=45-7(7)=-4)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{13}-a_8=5d=35\), so (d=7) and (a_1=45-7(7)=-4). First find (d), then move backward.
(2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)) से (4p+10=5p+3) और (p=7) आता है। सही विकल्प (7) होना चाहिए। / From (2(2p+5)=(p+2)+(4p+1)), (4p+10=5p+3), so (p=7). The correct option should be (7).
पहला और नौवाँ पद (5) और (69) हैं, इसलिए योग (\frac{9(5+69)}{2}=333)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first and ninth terms are (5) and (69), so the sum is (\frac{9(5+69)}{2}=333). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
आठ अंतरों में वृद्धि (48) है, इसलिए (d=6) और (a_{10}=31+4(6)=55)। \(a_{10}\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over eight gaps is (48), so (d=6) and (a_{10}=31+4(6)=55). \(a_{10}\) lies between the two given terms.
\(a_{16}\) और \(a_7\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times9=81\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{16}\) and \(a_7\), so the difference is \(9\times9=81\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=6n+11\) है और \(a_{16}=107\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+11\), and \(a_{16}=107\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_3=-2\) और \(a_4=5\), इसलिए पहला धनात्मक पद (4)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_3=-2\) and \(a_4=5\), so the first positive term is the (4)th. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_6=52\) और \(a_{10}=88\), इसलिए योग (140) है। सही विकल्पों में (140) होना चाहिए। / \(a_6=52\) and \(a_{10}=88\), so the sum is (140). The correct option should include (140).
(2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)) से (12x+2=13x-5) और (x=7) आता है। सही विकल्प (7) होना चाहिए। / From (2(6x+1)=(4x-3)+(9x-2)), (12x+2=13x-5), so (x=7). The correct option should be (7).
(\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) से (56+21d=161) और (d=5)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{7}{2}[2(8)+6d]=161) gives (56+21d=161) and (d=5). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
(a_n=18+(n-1)7=7n+11), इसलिए (7n+11=102) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=18+(n-1)7=7n+11), so (7n+11=102) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{12}=44+4(6)=68)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{12}=44+4(6)=68). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(10,17,24,31,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(10,17,24,31,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=6n+3\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (87) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+3\), and the greatest term below (90) is (87). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=27\) और \(a_8=3\), इसलिए योग (30) है। सही विकल्पों में (30) होना चाहिए। / \(a_4=27\) and \(a_8=3\), so the sum is (30). The correct option should include (30).
\(a_{14}-a_5=9d=63\), इसलिए (d=7) और (a_1=18-4(7)=-10)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{14}-a_5=9d=63\), so (d=7) and (a_1=18-4(7)=-10). Find the common difference first.
पहला और बारहवाँ पद (7) और (84) हैं, इसलिए योग (\frac{12(7+84)}{2}=546)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and twelfth terms are (7) and (84), so the sum is (\frac{12(7+84)}{2}=546). Use the first and last terms for the sum.
\(a_7=4\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=4\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
\(a_5=38\) और \(a_{11}=74\), इसलिए योग (112) है। सही विकल्पों में (112) होना चाहिए। / \(a_5=38\) and \(a_{11}=74\), so the sum is (112). The correct option should include (112).
\(a_7=a_1+6d\), इसलिए \(50=a_1+54\) और \(a_1=-4\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_7=a_1+6d\), so \(50=a_1+54\) and \(a_1=-4\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_{12}=93\) और \(a_4=37\), इसलिए योग (130) है। सही विकल्पों में (130) होना चाहिए। / \(a_{12}=93\) and \(a_4=37\), so the sum is (130). The correct option should include (130).
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{15}=64+4(7)=92)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{15}=64+4(7)=92). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=19) और (d=6), इसलिए (a_{24}=19+23(6)=157)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=19) and (d=6), so (a_{24}=19+23(6)=157). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_3=a_1+12\) और \(a_{11}=a_1+60\), इसलिए \(2a_1+72=92\) और \(a_1=10\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_3=a_1+12\) and \(a_{11}=a_1+60\), so \(2a_1+72=92\) and \(a_1=10\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
