Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a_4=a_1+3d\), इसलिए \(17=a_1+12\) और \(a_1=5\)। दिए पद से पीछे जाते समय समान अंतर घटाएं। / \(a_4=a_1+3d\), so \(17=a_1+12\) and \(a_1=5\). When moving backward from a given term, subtract the common difference.
(8n-5=83) से (8n=88) और (n=11)। पद की स्थिति के लिए \(a_n\) को दिए पद के बराबर रखें। / From (8n-5=83), (8n=88) and (n=11). To find the position, set \(a_n\) equal to the given term.
लगातार तीन पदों में (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), इससे (x=6) मिलता है। बीच वाला पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / For three consecutive terms, (2(2x+1)=(x-3)+(4x-1)), giving (x=6). The middle term is the average of the two surrounding terms.
\(a_{10}-a_2=8d=40\), इसलिए (d=5) और (a_7=10+5(5)=35)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{10}-a_2=8d=40\), so (d=5) and (a_7=10+5(5)=35). Find the common difference first.
पद \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\) हैं, इसलिए पहला ऋणात्मक पद (6)वाँ है। शून्य के आसपास पदों को क्रम से जांचें। / The terms are \(25,19,13,7,1,-5,\ldots\), so the first negative term is the (6)th. Check terms around zero in order.
\(a_{15}\) और \(a_6\) के बीच (9) अंतर हैं और (d=7), इसलिए अंतर (63) है। पदों का अंतर पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / There are (9) gaps between \(a_{15}\) and \(a_6\), and (d=7), so the difference is (63). Term difference depends on position difference.
पहले (5) पद (11,15,19,23,27) हैं और योग (95) है। नियम से पद बनाकर जोड़ना सुरक्षित तरीका है। / The first (5) terms are (11,15,19,23,27), and their sum is (95). Forming terms from the rule and adding is a safe method.
\(a_9-a_4=5d=30\), इसलिए (d=6) और (a_1=22-3(6)=4)। बीच के पदों से पहले (d) निकालें। / \(a_9-a_4=5d=30\), so (d=6) and (a_1=22-3(6)=4). From middle terms, first find (d).
(64+(n-1)(-7)=8) से (7(n-1)=56) और (n=9)। घटती श्रेणी में भी वही \(a_n\) सूत्र लगता है। / From (64+(n-1)(-7)=8), (7(n-1)=56) and (n=9). The same \(a_n\) formula works in a decreasing progression.
(2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)) से (x=4), इसलिए समान अंतर (14-7=7) नहीं बल्कि (14-7=7) है। सही गणना में (d=7) आता है। / From (2(3x+2)=(2x-1)+(5x+1)), (x=4), so the common difference is (14-7=7). Calculate (x) first and then the difference.
पद \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\) हैं, इसलिए धनात्मक पद (5) हैं। शून्य और ऋणात्मक पदों को धनात्मक न मानें। / The terms are \(18,14,10,6,2,-2,\ldots\), so there are (5) positive terms. Do not count zero or negative terms as positive.
पहला पद (8) और (d=9) है, इसलिए (a_n=8+(n-1)9=9n-1)। विकल्प को (n=1) रखकर जांच सकते हैं। / The first term is (8) and (d=9), so (a_n=8+(n-1)9=9n-1). You can check an option by putting (n=1).
सामान्य पद \(a_n=5n+6\) है और (90) से छोटा सबसे बड़ा पद (86) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=5n+6\), and the greatest term below (90) is (86). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_4=36\) और \(a_9=16\), इसलिए योग (52) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_4=36\) and \(a_9=16\), so the sum is (52). This does not match the options.
\(a_{12}-a_7=5d=35\), इसलिए (d=7) और (a_1=34-6(7)=-8)। पहले (d) निकालकर पीछे जाएं। / \(a_{12}-a_7=5d=35\), so (d=7) and (a_1=34-6(7)=-8). First find (d), then move backward.
(2(p+10)=p+(3p-2)) से (2p+20=4p-2) और (p=11) मिलता है। बीच का पद दोनों ओर के पदों का औसत होता है। / From (2(p+10)=p+(3p-2)), (2p+20=4p-2), so (p=11). The middle term is the average of the two surrounding terms.
पहले (8) पद (4) से (60) तक हैं, इसलिए योग (\frac{8(4+60)}{2}=256)। सममित जोड़ से गणना तेज होती है। / The first (8) terms go from (4) to (60), so the sum is (\frac{8(4+60)}{2}=256). Pairing symmetric terms makes calculation quick.
छह अंतरों में वृद्धि (36) है, इसलिए (d=6) और (a_8=14+3(6)=32)। \(a_8\) दोनों दिए पदों के बीच आता है। / The increase over six gaps is (36), so (d=6) and (a_8=14+3(6)=32). \(a_8\) lies between the two given terms.
\(a_{14}\) और \(a_5\) के बीच (9) अंतर हैं, इसलिए अंतर \(9\times8=72\) है। पदों का अंतर सीधे (d) से निकाला जा सकता है। / There are (9) gaps between \(a_{14}\) and \(a_5\), so the difference is \(9\times8=72\). Term differences can be found directly using (d).
सामान्य पद \(a_n=7n+6\) है और \(a_{14}=104\) पहला पद है जो (100) से बड़ा है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The general term is \(a_n=7n+6\), and \(a_{14}=104\) is the first term greater than (100). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_2=-5\) और \(a_3=1\), इसलिए पहला धनात्मक पद (3)वाँ है। धनात्मक पद के लिए \(a_n>0\) जांचें। / \(a_2=-5\) and \(a_3=1\), so the first positive term is the (3)rd. Check \(a_n>0\) for positive terms.
\(a_5=33\) और \(a_9=61\), इसलिए योग (94) है। दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=33\) and \(a_9=61\), so the sum is (94). Find both terms separately and add them.
(2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)) से (10x-4=11x-7) और (x=3) आता है। सही विकल्प (3) होना चाहिए। / From (2(5x-2)=(3x+1)+(8x-8)), (10x-4=11x-7), so (x=3). The correct option should be (3).
(\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) से (30+15d=120) और (d=6)। योग वाले प्रश्न में पहले (n) और (a) रखें। / (\frac{6}{2}[2(5)+5d]=120) gives (30+15d=120) and (d=6). In sum questions, substitute (n) and (a) first.
(a_n=15+(n-1)6=6n+9), इसलिए (6n+9=87) से (n=13)। सामान्य पद बनाकर समीकरण हल करें। / (a_n=15+(n-1)6=6n+9), so (6n+9=87) gives (n=13). Form the general term and solve the equation.
चार अंतरों में वृद्धि (24) है, इसलिए (d=6) और (a_{11}=36+4(6)=60)। पास के पद से आगे बढ़ना आसान है। / The increase over four gaps is (24), so (d=6) and (a_{11}=36+4(6)=60). Moving forward from a nearby term is easy.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(9,14,19,24,\ldots\) मिलता है। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(9,14,19,24,\ldots\). Form the initial terms from the rule and match the option.
सामान्य पद \(a_n=6n+2\) है और (80) से छोटा सबसे बड़ा पद (74) है। सीमा वाले प्रश्न में नजदीकी पद जांचें। / The general term is \(a_n=6n+2\), and the greatest term below (80) is (74). In boundary questions, check nearby terms.
\(a_3=20\) और \(a_7=0\), इसलिए योग (20) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_3=20\) and \(a_7=0\), so the sum is (20). This does not match the options.
\(a_{13}-a_4=9d=54\), इसलिए (d=6) और (a_1=13-3(6)=-5)। पहले समान अंतर निकालें। / \(a_{13}-a_4=9d=54\), so (d=6) and (a_1=13-3(6)=-5). Find the common difference first.
पहला और दसवाँ पद (3) और (57) हैं, इसलिए योग (\frac{10(3+57)}{2}=300)। योग में पहला और अंतिम पद उपयोग करें। / The first and tenth terms are (3) and (57), so the sum is (\frac{10(3+57)}{2}=300). Use the first and last terms for the sum.
\(a_7=3\) और \(a_8=-1\), इसलिए पहला ऋणात्मक पद (8)वाँ है। शून्य से नीचे जाने वाला पहला पद देखें। / \(a_7=3\) and \(a_8=-1\), so the first negative term is the (8)th. Look for the first term below zero.
\(a_4=26\) और \(a_{10}=56\), इसलिए योग (82) है। यह विकल्पों से मेल नहीं खाता। / \(a_4=26\) and \(a_{10}=56\), so the sum is (82). This does not match the options.
\(a_6=a_1+5d\), इसलिए \(41=a_1+40\) और \(a_1=1\)। दिए पद से पीछे जाने के लिए समान अंतर घटाएं। / \(a_6=a_1+5d\), so \(41=a_1+40\) and \(a_1=1\). To move backward from a given term, subtract common differences.
\(a_{11}=82\) और \(a_3=26\), इसलिए योग (108) है। दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_{11}=82\) and \(a_3=26\), so the sum is (108). Find both terms separately.
पाँच अंतरों में वृद्धि (35) है, इसलिए (d=7) और (a_{13}=59+3(7)=80)। पहले (d) निकालें फिर आगे बढ़ें। / The increase over five gaps is (35), so (d=7) and (a_{13}=59+3(7)=80). First find (d), then move forward.
यहाँ (a=17) और (d=5), इसलिए (a_{25}=17+24(5)=137)। बड़े पद के लिए भी (a_n=a+(n-1)d) लगाएं। / Here (a=17) and (d=5), so (a_{25}=17+24(5)=137). Use (a_n=a+(n-1)d) even for larger terms.
\(a_2=a_1+5\) और \(a_8=a_1+35\), इसलिए \(2a_1+40=70\) और \(a_1=15\)। योग वाले प्रश्न में दोनों पदों को \(a_1\) और (d) से लिखें। / \(a_2=a_1+5\) and \(a_8=a_1+35\), so \(2a_1+40=70\) and \(a_1=15\). In sum-based questions, write both terms using \(a_1\) and (d).
