Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (4) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-1\) है। परीक्षा में (n=1) रखकर पहला पद जरूर जाँचें। / The first term is (4) and the difference is (5), so \(a_n=5n-1\). In exams, always check the first term by putting (n=1).
अंतर (7) है और (n=1) पर मान (12) चाहिए, इसलिए \(a_n=7n+5\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The difference is (7), and at (n=1) the value must be (12), so \(a_n=7n+5\). In exams, take the difference as the coefficient of (n).
(n=1) पर (42) और (n=2) पर (37) मिलता है, इसलिए \(a_n=47-5n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद जरूर मिलाएँ। / At (n=1) it gives (42), and at (n=2) it gives (37), so \(a_n=47-5n\). In exams, always match the first term in a decreasing sequence.
(3n+2=38) से (n=12) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (3n+2=38), we get (n=12). In exams, equate the formula to the given value when term number is asked.
इसका नियम \(a_n=3n+2\) है और (3n+2=32) से (n=10) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=3n+2\), and (3n+2=32) gives (n=10). In exams, form the general term first to find the term number.
ये पद \(2^2,3^2,4^2,5^2\) हैं, इसलिए (a_n=(n+1)2) है। परीक्षा में वर्ग संख्याओं के स्थानांतरण को पहचानें। / These terms are \(2^2,3^2,4^2,5^2\), so (a_n=(n+1)2). In exams, recognize shifted square numbers.
(a_6=(6+1)2=49) है। परीक्षा में पहले कोष्ठक का मान निकालें और फिर वर्ग करें। / (a_6=(6+1)2=49). In exams, find the value inside the bracket first and then square it.
(n(n+1)) से (2,6,12,20) मिलते हैं। परीक्षा में लगातार दो संख्याओं के गुणन वाले नियम को जाँचें। / (n(n+1)) gives (2,6,12,20). In exams, check rules involving the product of consecutive numbers.
त्रिभुज संख्या में (1) जोड़ने से (2,4,7,11) मिलते हैं। परीक्षा में अंतर (2,3,4) दिखे तो त्रिभुज संख्या सोचें। / Adding (1) to triangular numbers gives (2,4,7,11). In exams, think of triangular numbers when differences are (2,3,4).
\(a_5=\frac{5\times6}{2}+1=16\) है। परीक्षा में भिन्न भाग सरल करके अंत में (1) जोड़ें। / \(a_5=\frac{5\times6}{2}+1=16\). In exams, simplify the fractional part and add (1) at the end.
\(n^2-1\) से (0,3,8,15) मिलते हैं। परीक्षा में वर्ग संख्याओं से (1) घटाकर मिलान करें। / \(n^2-1\) gives (0,3,8,15). In exams, match by subtracting (1) from square numbers.
\(n^2-1=35\) से \(n^2=36\) और (n=6) मिलता है। परीक्षा में वर्ग पूरा करके पद संख्या निकालें। / From \(n^2-1=35\), we get \(n^2=36\) and (n=6). In exams, complete the square value to find the term number.
\(2^n+1\) से (3,5,9,17) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले विकल्पों में स्थिर जोड़ भी जाँचें। / \(2^n+1\) gives (3,5,9,17). In exams, also check constant addition in power-based options.
\(3^n+2\) से (5,11,29,83) मिलते हैं। परीक्षा में तेज वृद्धि वाले अनुक्रमों में घात जाँचें। / \(3^n+2\) gives (5,11,29,83). In exams, check powers in rapidly increasing sequences.
\(2\cdot3^n\) से (6,18,54,162) मिलते हैं। परीक्षा में गुणोत्तर वृद्धि के लिए आधार की घात जाँचें। / \(2\cdot3^n\) gives (6,18,54,162). In exams, check powers of the base for geometric growth.
पहला पद (5) है और हर बार (2) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में गुणोत्तर अनुक्रम में पहले पद और अनुपात दोनों देखें। / The first term is (5), and each term is multiplied by (2). In exams, check both the first term and ratio in a geometric sequence.
\(2n^2+3\) से (5,11,21,35) मिलते हैं। परीक्षा में (n=1,2,3) रखकर विकल्प जाँचें। / \(2n^2+3\) gives (5,11,21,35). In exams, test options by putting (n=1,2,3).
\(3n^2-n\) से (2,10,24,44) मिलते हैं। परीक्षा में बहुपद नियमों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(3n^2-n\) gives (2,10,24,44). In exams, match polynomial rules using small (n) values.
\(n^3+n\) से (2,10,30,68) मिलते हैं। परीक्षा में घन वाले नियम को पहले तीन पदों पर जाँचें। / \(n^3+n\) gives (2,10,30,68). In exams, test the cube-based rule on the first three terms.
(2n-1=41) से (n=21) मिलता है। परीक्षा में विषम संख्या के पद को सूत्र से निकालें। / From (2n-1=41), we get (n=21). In exams, find the term number of an odd number using the formula.
इसका नियम \(a_n=3n+4\) है और (3n+4=58) से (n=18) है। परीक्षा में पहले नियम लिखकर दिए पद से तुलना करें। / Its rule is \(a_n=3n+4\), and (3n+4=58) gives (n=18). In exams, write the rule first and compare it with the given term.
अंतर (6) है और पहला पद (8) है, इसलिए \(a_n=6n+2\) है। परीक्षा में पहला पद मिलाने के लिए स्थिर संख्या निकालें। / The difference is (6) and the first term is (8), so \(a_n=6n+2\). In exams, find the constant to match the first term.
पहले तीन पद (8,14,20) हैं और योग (42) है। परीक्षा में योग पूछे जाने पर सभी आवश्यक पद निकालें। / The first three terms are (8,14,20), and their sum is (42). In exams, find all required terms when a sum is asked.
\(a_7=27\) और \(a_3=11\), इसलिए अंतर (16) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_7=27\) and \(a_3=11\), so the difference is (16). In exams, find both terms separately.
\(a_4=36\) और \(a_2=14\), इसलिए अनुपात (18:7) है। परीक्षा में अनुपात को सरल करना न भूलें। / \(a_4=36\) and \(a_2=14\), so the ratio is (18:7). In exams, do not forget to simplify the ratio.
A. \(a_2=7\) और \(a_3=16\)/\(a_2=7\) and \(a_3=16\)
Explanation
Simple Explanation
\(a_2=8-2+1=7\) और \(a_3=18-3+1=16\) है। परीक्षा में प्रत्येक पद के लिए (n) का अलग मान रखें। / \(a_2=8-2+1=7\) and \(a_3=18-3+1=16\). In exams, use a separate value of (n) for each term.
\(n^2+n-1\) से (1,5,11,19) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(n^2+n-1\) gives (1,5,11,19). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
(n=1) पर (93) और (n=2) पर (86) मिलता है, इसलिए \(a_n=100-7n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम का पहला पद मिलाएँ। / At (n=1) it gives (93), and at (n=2) it gives (86), so \(a_n=100-7n\). In exams, match the first term of a decreasing sequence.
\(a_5=\frac{16}{2}=8\) है। परीक्षा में पहले अंश को सरल करें और फिर भाग दें। / \(a_5=\frac{16}{2}=8\). In exams, simplify the numerator first and then divide.
\(\frac{3n+1}{2}\) से \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\) मिलते हैं। परीक्षा में भिन्न पदों को छोटे (n) मानों से मिलाएँ। / \(\frac{3n+1}{2}\) gives \(2,\frac{7}{2},5,\frac{13}{2}\). In exams, match fractional terms using small (n) values.
\(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\) है। परीक्षा में गुणन के बाद (2) से भाग दें। / \(a_6=\frac{6\times7}{2}=21\). In exams, multiply first and then divide by (2).
\(\frac{7\times8}{2}=28\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में त्रिभुज संख्याओं को याद रखना उपयोगी है। / \(\frac{7\times8}{2}=28\), so (n=7). In exams, remembering triangular numbers is useful.
\(2^n+n\) से (3,6,11,20) मिलते हैं। परीक्षा में घात वाले नियमों में अतिरिक्त (n) भी जाँचें। / \(2^n+n\) gives (3,6,11,20). In exams, also check the extra (n) in power-based rules.
\(3^n-n\) से (2,7,24,77) मिलते हैं। परीक्षा में घात में से पद संख्या घटाकर भी विकल्प जाँचें। / \(3^n-n\) gives (2,7,24,77). In exams, also test options where the term number is subtracted from a power.
\(2n^2+2n=60\) में (n=5) रखने पर मान (60) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / Putting (n=5) in \(2n^2+2n=60\) gives (60). In exams, you can also check quickly by substituting options.
\(2n^2+2n\) से (4,12,24,40) मिलते हैं। परीक्षा में दूसरे अंतर समान हों तो वर्गीय नियम जाँचें। / \(2n^2+2n\) gives (4,12,24,40). In exams, check a quadratic rule when second differences are constant.
\(a_4=5\times16-16=64\) है। परीक्षा में वर्ग वाले भाग से रैखिक भाग घटाएँ। / \(a_4=5\times16-16=64\). In exams, subtract the linear part from the square-based part.
