A. किसी भी (a) के लिए (a<a) सत्य नहीं है/(a<a) is not true for any (a)
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
Putting (b=a) in (a<b) gives (a<a), which is never true.
Step 3
Exam Tip
Strict inequality relations are usually not reflexive. चरण 1: स्वतुल्यता के लिए ((a,a)) का सम्बन्ध में होना जरूरी है। चरण 2: शर्त (a<b) में (b=a) रखने पर (a<a) मिलता है, जो कभी सत्य नहीं होता। चरण 3: कड़े असमानता वाले सम्बन्ध आम तौर पर स्वतुल्य नहीं होते।
With (4) elements, total ordered pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
(4) self-pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
The number of reflexive relations is \(2^{12}\). चरण 1: (4) सदस्यों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। चरण 2: स्वतुल्यता के लिए (4) अपने-आप वाले युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: स्वतंत्र युग्मों के चुनाव से संख्या \(2^{12}\) होगी।
\(R\cap S\) contains only pairs common to both relations.
Step 2
Why this answer is correct
The common self-pairs are ((a,a)) and ((c,c)), but ((b,b)) is missing.
Step 3
Exam Tip
Missing one self-pair makes the relation not reflexive. चरण 1: \(R\cap S\) में केवल वे युग्म होंगे जो दोनों में समान हैं। चरण 2: समान युग्म ((a,a)) और ((c,c)) हैं, लेकिन ((b,b)) नहीं है। चरण 3: एक अपने-आप वाला युग्म छूटने से सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं रहता।
A. \(R\cap S\) स्वतुल्य होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Both (R) and (S) contain ((a,a)) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
A pair common to both relations belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
Hence all self-pairs remain in the intersection. चरण 1: (R) और (S) दोनों में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) मौजूद है। चरण 2: जो युग्म दोनों में हैं, वे \(R\cap S\) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए सभी अपने-आप वाले युग्म प्रतिच्छेद में भी रहेंगे।
A. \(R\cup S\) स्वतुल्य होगा/\(R\cup S\) will be reflexive
Step 1
Concept
(R) already contains every self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
Taking a union does not remove pairs of (R).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup S\) is also reflexive. चरण 1: (R) में हर अपने-आप वाला युग्म पहले से मौजूद है। चरण 2: संघ लेने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि बने रहते हैं। चरण 3: इसलिए \(R\cup S\) भी स्वतुल्य होगा।
Reflexive closure is obtained by adding missing self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((3,3)) is missing, so only one pair is added.
Step 3
Exam Tip
The total number of pairs becomes (4+1=5). चरण 1: स्वतुल्य आवरण में सभी छूटे हुए अपने-आप वाले युग्म जोड़े जाते हैं। चरण 2: यहां ((3,3)) छूटा है, इसलिए केवल एक युग्म जोड़ेगा। चरण 3: कुल युग्म (4+1=5) होंगे।
In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
In (S), the condition (a=b) gives all self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore both relations are reflexive. चरण 1: (R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है। चरण 2: (S) में (a=b) होने से सभी अपने-आप वाले युग्म आते हैं। चरण 3: इसलिए दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं।
In (R), putting ((a,a)) gives (a+a=2a), which is even.
Step 2
Why this answer is correct
In (S), putting ((a,a)) gives (a-a=0), which is even.
Step 3
Exam Tip
Both relations contain all self-pairs. चरण 1: (R) में ((a,a)) रखने पर (a+a=2a), जो सम है। चरण 2: (S) में ((a,a)) रखने पर (a-a=0), जो सम है। चरण 3: दोनों में सभी अपने-आप वाले युग्म मौजूद होंगे।
