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एक समतल सतह का क्षेत्रफल चार मीटर वर्ग है और विद्युत क्षेत्र दस न्यूटन प्रति कूलॉम है। यदि क्षेत्रफल सदिश और विद्युत क्षेत्र के बीच कोण साठ अंश है, तो विद्युत फ्लक्स कितना होगा?
A. बीस न्यूटन मीटर वर्ग प्रति कूलॉम/Twenty newton metre square per coulomb
Step 1
Concept
फ्लक्स क्षेत्र, क्षेत्रफल और दोनों के बीच कोण पर निर्भर करता है। / Flux depends on field, area and the angle between them.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश के लिए प्रभावी भाग आधा माना जाता है, इसलिए दस गुणा चार का आधा बीस होगा। / For sixty degrees, the effective part is half, so half of ten times four is twenty.
Step 3
Exam Tip
कोण हमेशा विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच लें। / Always take the angle between electric field and area vector.
(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
हस्तांतरण आय उत्पादन सेवा के बदले नहीं मिलती। आय विधि में केवल चालू उत्पादन से उत्पन्न कारक आय जोड़ी जाती है। / Transfer income is not received for productive service. The income method adds only factor income generated from current production.
A. उतने ही परिमाण का ऋणात्मक/Negative with same magnitude
Step 1
Concept
खुली सतह का फ्लक्स क्षेत्रफल सदिश की चुनी हुई दिशा पर निर्भर करता है। / Flux through an open surface depends on the chosen direction of area vector.
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्रफल सदिश उलटने से कोण का संबंध उलट जाता है, इसलिए चिह्न बदल जाता है। / Reversing the area vector reverses the sign relation, so the sign changes.
Step 3
Exam Tip
परिमाण वही रहता है यदि क्षेत्र और क्षेत्रफल नहीं बदलते। / Magnitude stays same if field and area are unchanged.
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। / Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें। / To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function.
घरेलू आय (900+550+250=1700) है। (NFIA=-80) जोड़ने पर राष्ट्रीय आय (1620) होगी। / Domestic income is (900+550+250=1700). Adding (NFIA=-80) gives national income (1620).
A. क्योंकि उसमें श्रम और संपत्ति आय को अलग करना कठिन होता है/Because labour and property income are difficult to separate in it
Explanation
Simple Explanation
स्वरोजगार में व्यक्ति श्रम पूंजी और उद्यम का संयुक्त योगदान दे सकता है। इसलिए उसकी आय को अलग-अलग कारक आयों में बांटना कठिन होता है। / In self-employment a person may jointly contribute labour capital and enterprise. Therefore it is difficult to split the income into separate factor incomes.
A. कुल प्रवेश और निर्गमन बराबर हैं/Total entry and exit are equal
Step 1
Concept
कुल फ्लक्स पूरे बंद पृष्ठ के योगदानों का योग है। / Net flux is the sum of contributions over the whole closed surface.
Step 2
Why this answer is correct
कुछ भागों से रेखाएं बाहर और कुछ से अंदर जा सकती हैं, पर कुल योग शून्य हो सकता है। / Lines may leave some parts and enter other parts, but the total can be zero.
Step 3
Exam Tip
शून्य कुल फ्लक्स को हर बिंदु पर शून्य क्षेत्र न मानें। / Do not confuse zero net flux with zero field at every point.
\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.
B. कर्मचारियों का पारिश्रमिक, परिचालन अधिशेष, मिश्रित आय/Compensation of employees, operating surplus, mixed income
Explanation
Simple Explanation
घरेलू आय \(NDP_{FC}\) के लिए ये तीन प्रमुख घटक जोड़े जाते हैं। (PFCE) और (NX) व्यय विधि के घटक हैं। / These three major components are added for domestic income \(NDP_{FC}\). (PFCE) and (NX) are expenditure method components.
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.
B. क्योंकि यह वर्तमान उत्पादन सेवा का प्रतिफल नहीं माना जाता/Because it is not treated as reward for current productive service
Explanation
Simple Explanation
सरकारी ऋण पर ब्याज को सामान्यतः हस्तांतरण प्रकृति का भुगतान माना जाता है। कारक आय में केवल उत्पादन सेवा का प्रतिफल शामिल होता है। / Interest on public debt is generally treated as a transfer type payment. Factor income includes only reward for productive service.
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.
A. क्योंकि कुल फ्लक्स अंदर के कुल आवेश पर निर्भर करता है/Because total flux depends on enclosed net charge
Step 1
Concept
बंद सतह का कुल फ्लक्स आकार से नहीं बल्कि अंदर के कुल आवेश से तय होता है। / Total flux through a closed surface is determined by enclosed net charge, not by shape.
Step 2
Why this answer is correct
आकार बदलने पर अलग-अलग जगह क्षेत्र और क्षेत्रफल दिशा बदल सकते हैं। / Changing shape may change local field and area directions.
Step 3
Exam Tip
फिर भी कुल योग समान रहता है यदि अंदर का कुल आवेश समान है। / The total sum remains same if enclosed net charge is same.
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
A. नियोक्ता का सामाजिक सुरक्षा अंशदान/Employer’s social security contribution
Explanation
Simple Explanation
नियोक्ता द्वारा किया गया सामाजिक सुरक्षा अंशदान कर्मचारी को रोजगार के बदले लाभ है। इसलिए इसे कर्मचारियों के पारिश्रमिक में शामिल किया जा सकता है। / Employer’s social security contribution is a benefit to employee for employment. Hence it can be included in compensation of employees.
A. इसे घरेलू आय में शामिल किया जाएगा/It will be included in domestic income
Explanation
Simple Explanation
घरेलू सीमा में अर्जित कारक आय घरेलू आय में शामिल होती है। राष्ट्रीय आय में विदेशी स्वामित्व से जुड़ा समायोजन (NFIA) से होता है। / Factor income earned within domestic territory is included in domestic income. Adjustment related to foreign ownership is made through (NFIA) for national income.
A. धनात्मक से शून्य हो जाएगा/It changes from positive to zero
Step 1
Concept
पहले सतह केवल धन आवेश को घेर रही थी, इसलिए कुल फ्लक्स धनात्मक था। / Initially the surface enclosed only the positive charge, so net flux was positive.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ा करने पर धन और बराबर ऋण दोनों अंदर आ गए, इसलिए कुल आवेश शून्य हो गया। / After enlargement, equal positive and negative charges are inside, so net charge becomes zero.
Step 3
Exam Tip
बंद सतह में कौन-कौन से आवेश अंदर हैं, यह सबसे जरूरी है। / For closed surfaces, identify which charges are enclosed.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.
कुल घरेलू कारक आय सभी कारक आयों और मिश्रित आय का योग है। (700+120+90+240+150=1300) होगा। / Total domestic factor income is the sum of all factor incomes and mixed income. (700+120+90+240+150=1300).
B. यह उत्पादन सेवा के बदले प्राप्त कारक आय नहीं है/It is not factor income received for productive service
Explanation
Simple Explanation
लॉटरी पुरस्कार संयोग से मिलने वाली प्राप्ति है। यह वर्तमान उत्पादन में कारक सेवा का प्रतिफल नहीं है। / Lottery prize is a chance receipt. It is not a reward for factor service in current production.
\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.
A. क्योंकि यह घरेलू सीमा में अर्जित शुद्ध कारक आय है/Because it is net factor income earned within domestic territory
Explanation
Simple Explanation
\(NDP_{FC}\) घरेलू क्षेत्र में उत्पादन कारकों को मिली शुद्ध आय को दिखाता है। इसलिए इसे घरेलू आय कहा जाता है। / \(NDP_{FC}\) shows net income received by factors in domestic territory. Therefore it is called domestic income.
A. यह बाहर जाने वाले फ्लक्स को धनात्मक मानने में सहायता करती है/It helps treat outward flux as positive
Step 1
Concept
बंद सतह पर हर छोटे भाग की लंब दिशा होती है। / Each small part of a closed surface has a normal direction.
Step 2
Why this answer is correct
बाहर की दिशा लेने से बाहर जाती रेखाओं को धनात्मक और अंदर आती रेखाओं को ऋणात्मक मानना आसान होता है। / Taking outward direction makes outgoing lines positive and incoming lines negative.
Step 3
Exam Tip
बंद सतह में बाहर की लंब दिशा परंपरा याद रखें। / Remember outward normal convention for closed surfaces.
B. जब वह उत्पादन सेवा या रचनात्मक कार्य के प्रतिफल के रूप में मिले/When it is received as reward for productive service or creative work
Explanation
Simple Explanation
यदि पुरस्कार कार्य या सेवा के बदले मिला है तो वह उत्पादन आय हो सकती है। बिना सेवा वाली प्राप्ति कारक आय नहीं होती। / If the prize is received for work or service it can be production income. A receipt without service is not factor income.
घरेलू आय (1100+600+300=2000) है। ऋणात्मक (NFIA) जोड़ने पर \(NNP_{FC}=1880\) होगा। / Domestic income is (1100+600+300=2000). Adding negative (NFIA) gives \(NNP_{FC}=1880\).
A. \(g\circ f\) एकैकी होगा/\(g\circ f\) will be one-one
Step 1
Concept
मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is always one-one.
A. क्योंकि वह उत्पादन से उत्पन्न नई कारक आय नहीं है/Because it is not new factor income generated from production
Explanation
Simple Explanation
पुराने शेयर की बिक्री वित्तीय परिसंपत्ति के स्वामित्व का हस्तांतरण है। इससे चालू उत्पादन में नई आय नहीं बनती। / Sale of old shares is transfer of ownership of a financial asset. It does not create new income in current production.
(C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। / Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। / Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).
Step 3
Exam Tip
दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है। / The composition of two onto functions is onto.
परिचालन अधिशेष संपत्ति और उद्यम से प्राप्त आयों का समूह है। इसमें किराया ब्याज और लाभ आते हैं। / Operating surplus is a group of incomes from property and enterprise. It includes rent interest and profit.
द्विध्रुव पर बल आघूर्ण द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र दोनों के समानुपाती होता है। / Torque on a dipole is proportional to both dipole moment and electric field.
Step 2
Why this answer is correct
एक को दोगुना और दूसरे को तीन गुना करने से संयुक्त गुणक छह होता है। / Doubling one and tripling the other gives a combined factor of six.
Step 3
Exam Tip
कोण समान हो तो अनुपातों को सीधे गुणा करें। / If angle is same, multiply the ratios directly.
हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.
A. विदेश से प्राप्त कारक आय/Factor income from abroad
Explanation
Simple Explanation
विदेश में मिली मजदूरी कारक सेवा का प्रतिफल है। निवासी की होने के कारण यह (NFIA) के माध्यम से राष्ट्रीय आय को प्रभावित करती है। / Wages received abroad are reward for factor service. Since they belong to a resident they affect national income through (NFIA).
A. घरेलू आय में शामिल होकर (NFIA) में भुगतान पक्ष से घटेगा/It is included in domestic income and reduced through payment side of (NFIA)
Explanation
Simple Explanation
विदेशी निवासी की घरेलू आय घरेलू उत्पाद का भाग है पर राष्ट्रीय आय निवासियों की आय मापती है। इसलिए इसे (NFIA) समायोजन से बाहर किया जाता है। / A foreign resident’s domestic income is part of domestic product but national income measures residents’ income. So it is adjusted out through (NFIA).
किसी द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र में इस तरह रखा गया है कि द्विध्रुव आघूर्ण क्षेत्र से साठ अंश पर है। उसे घुमाने वाला प्रभाव शून्य क्यों नहीं है?
A. क्योंकि द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र एक ही रेखा में नहीं हैं/Because dipole moment and field are not along the same line
Step 1
Concept
बल आघूर्ण शून्य तब होता है जब द्विध्रुव आघूर्ण और क्षेत्र एक ही रेखा में हों। / Torque is zero when dipole moment and field are along the same line.
Step 2
Why this answer is correct
साठ अंश पर वे एक ही रेखा में नहीं हैं, इसलिए घुमाने की प्रवृत्ति रहती है। / At sixty degrees they are not along one line, so a turning tendency exists.
Step 3
Exam Tip
शून्य बल आघूर्ण के लिए शून्य या एक सौ अस्सी अंश याद रखें। / Remember zero or one hundred eighty degrees for zero torque.
