Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1\) परिमेय है, इसलिए परावर्तन है। / \(\frac{a}{a}=1\) is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है, इसलिए सममितता है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational, then \(\frac{b}{a}\) is rational, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{a}{b}\) और \(\frac{b}{c}\) परिमेय हों तो \(\frac{a}{c}\) भी परिमेय होगा, इसलिए संक्रामकता है। / If \(\frac{a}{b}\) and \(\frac{b}{c}\) are rational, then \(\frac{a}{c}\) is rational, so transitivity holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
((1,1)) में योग (2) अभाज्य है, पर ((2,2)) में योग (4) अभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। / For ((1,1)), the sum (2) is prime, but for ((2,2)), the sum (4) is not, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / (a+b) is unchanged by reversing order, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) भी है; संक्रामकता की टूटन के लिए ((2,3)) और ((3,4)) हैं पर ((2,4)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,4)) hold, but ((2,4)) does not, so transitivity fails.
(a-b) का (4) से विभाज्य होना समान शेषफल दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (4) means the same remainder modulo (4).
Step 2
Why this answer is correct
(3) का शेषफल (3) है, इसलिए उसके वर्ग में (4k+3) रूप वाले सभी पूर्णांक होंगे। / The remainder of (3) is (3), so its class contains all integers of the form (4k+3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग लिखते समय केवल समान शेषफल वाले तत्व ही शामिल करें। / Include only elements with the same remainder in the class.
B. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(1) न (2) से और न (3) से विभाज्य है, इसलिए ((1,1)) संबंध में नहीं होगा और परावर्तन नहीं है। / (1) is divisible by neither (2) nor (3), so ((1,1)) is not in the relation and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों शर्तें क्रम बदलने पर भी वैसी ही रहती हैं, इसलिए सममितता है। / Both conditions are unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
B. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
कोई स्वयुग्म नहीं हटाया गया, इसलिए परावर्तन है। / No self-pair has been removed, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए दोनों युग्म एक-दूसरे के उल्टे हैं, इसलिए सममितता बनी रहती है। / The two removed pairs are reverses of each other, so symmetry remains.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं, पर ((1,4)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, but ((1,4)) is missing, so transitivity fails.
स्वयुग्मों से (5) युग्म मिलते हैं। / Self-pairs give (5) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) से ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)) अतिरिक्त युग्म मिलते हैं; ((3,3)) पहले से गिना जा चुका है। / The condition (a+b=6) adds ((1,5),(5,1),(2,4),(4,2)); ((3,3)) is already counted.
Step 3
Exam Tip
कुल (5+4=9) युग्म होंगे। / Total pairs are (5+4=9).
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
\(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2-1^2\ge0\) सही है, पर \(1^2-2^2\ge0\) सही नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2^2-1^2\ge0\) is true, but \(1^2-2^2\ge0\) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\ge b^2\) और \(b^2\ge c^2\) से \(a^2\ge c^2\), इसलिए संक्रामकता है। / \(a^2\ge b^2\) and \(b^2\ge c^2\) imply \(a^2\ge c^2\), so it is transitive.
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग अकेले-अकेले हैं/It is an equivalence relation with singleton classes
Step 1
Concept
दोनों समान शेषफल वाली शर्तें परावर्ती, सममित और संक्रामक होती हैं। / Both same-remainder conditions are reflexive, symmetric and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों के लिए समान शेषफल होने का अर्थ इस छोटे समुच्चय में समान संख्या होना है। / Having the same remainders modulo (2) and modulo (3) means being the same number in this set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर तत्व अपना अलग वर्ग बनाता है और संबंध तुल्यता है। / Hence every element forms a singleton class and the relation is an equivalence relation.
