Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. न परावर्ती, न सममित, न संक्रामक/Neither reflexive, symmetric, nor transitive
Step 1
Concept
(a-a=0), इसलिए परावर्तन नहीं है। / (a-a=0), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b=2) होने पर (b-a=-2), इसलिए सममितता नहीं है। / If (a-b=2), then (b-a=-2), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
(4R2) और (2R0) सही हैं, पर (4R0) के लिए अंतर (4) है, इसलिए संक्रामकता नहीं है। / (4R2) and (2R0) hold, but (4R0) has difference (4), so transitivity fails.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए न्यूनतम कौन से युग्म जोड़ने होंगे?
संबंध पहले से परावर्ती और सममित है। / The relation is already reflexive and symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए तथा ((3,1)) और ((1,2)) से ((3,2)) चाहिए। / ((2,1)) and ((1,3)) force ((2,3)), while ((3,1)) and ((1,2)) force ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
ये दो युग्म जोड़ने पर ({1,2,3}) बंद वर्ग बन जाएगा और (4) अकेला रहेगा। / Adding these two pairs makes ({1,2,3}) a closed class and leaves (4) alone.
तुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions of the set.
Step 2
Why this answer is correct
तीन तत्वों के विभाजन हैं: एक-एक अलग, तीनों साथ, और किसी दो का जोड़ा तथा एक अकेला। / For three elements, partitions are all singletons, all together, and one pair with one singleton.
Step 3
Exam Tip
कुल (1+1+3=5) तुल्यता संबंध बनते हैं। / The total is (1+1+3=5).
A. वर्ग ({1,2}) और ({3,4}) वाला संबंध/Relation with classes ({1,2}) and ({3,4})
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध में वर्ग समुच्चय का पूरा विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a complete partition of the set.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2}) और ({3,4}) दो बंद वर्ग हैं और पूरा समुच्चय ढकते हैं। / ({1,2}) and ({3,4}) are two closed classes covering the whole set.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध परावर्ती नहीं और सार्वत्रिक संबंध में केवल एक वर्ग होगा। / The empty relation is not reflexive, and the universal relation has only one class.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर तत्व अपने ही सम-विषम प्रकार का है, इसलिए परावर्तन है। / Every element has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान सम-विषम प्रकार क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / Same parity is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान प्रकार की शृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / A chain of the same parity remains in the same parity, so transitivity also holds.
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
कोई तत्व अपने ही शेषफल से अलग शेषफल नहीं रख सकता, इसलिए परावर्तन नहीं है। / No element can have a different remainder from itself, so reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
अलग शेषफल की शर्त क्रम बदलने पर भी सही है, इसलिए सममितता है। / The different-remainder condition remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R2) और (2R3) सही हैं, पर (1R3) सही नहीं, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / (1R2) and (2R3) hold, but (1R3) does not, so transitivity fails.
