Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(4) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए परावर्तन नहीं है। / (4) is not related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों तत्वों के (4) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है। / The condition that both elements are less than (4) remains true after reversal.
Step 3
Exam Tip
संबंध ({1,2,3}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता है। / The relation is complete inside ({1,2,3}), so it is transitive.
A. \(R^{-1}\) भी संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R^{-1}\) में हैं, तो ((b,a)) और ((c,b)) (R) में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((c,a)) (R) में होगा। / By transitivity of (R), ((c,a)) is in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R^{-1}\) में होगा और \(R^{-1}\) संक्रामक है। / Therefore ((a,c)) is in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive.
B. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
({1,2,3}) के बीच सभी उल्टे युग्म मौजूद हैं और (4) अपने आप से जुड़ा है, इसलिए सममितता है। / Within ({1,2,3}), all reverse pairs are present and (4) is related to itself, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
({1,2,3}) एक पूरा बंद वर्ग है और (4) अकेला वर्ग है, इसलिए संक्रामकता भी है। / ({1,2,3}) is a complete closed class and (4) is a singleton class, so transitivity holds too.
B. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
आगे बढ़ने वाली हर जरूरी शृंखला का परिणाम जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता पूरी है। / Every needed forward-chain result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds.
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
हर तत्व का अपने साथ सबसे बड़ा समापवर्तक वही तत्व है, इसलिए परावर्तन है। / The greatest common divisor of each element with itself is the element, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा समापवर्तक क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। / The greatest common divisor does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(2R6) और (6R3) सही हैं, पर (2R3) सही नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है। / (2R6) and (6R3) hold, but (2R3) does not, so transitivity fails.
