Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(2) से भाग देने पर केवल दो शेष संभव हैं: (0) और (1)। / When divided by (2), only two remainders are possible: (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2,4) एक वर्ग में और (1,3) दूसरे वर्ग में आएँगे। / (2,4) form one class and (1,3) form another.
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले संबंध में वर्गों की संख्या संभावित शेषों से जुड़ी होती है। / In same-remainder relations, the number of classes is linked to possible remainders.
हर संख्या का शेष अपने साथ समान है, इसलिए स्वसमता है। / Every number has the same remainder as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है, तो (b) और (a) का भी समान है। / If (a) and (b) have the same remainder, then (b) and (a) also do.
Step 3
Exam Tip
समान शेष की कड़ी तीसरी संख्या तक जाती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-remainder link passes to a third number, so it is an equivalence relation.
(1) और (2) एक-दूसरे से संबंधित हैं, इसलिए वे एक ही वर्ग में होंगे। / (1) and (2) are related to each other, so they belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल स्वयं से संबंधित है, इसलिए उसका अलग वर्ग बनेगा। / (3) is related only to itself, so it forms a separate class.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय जो अवयव आपस में जुड़े हों उन्हें एक समूह में रखें। / While forming equivalence classes, group elements that are mutually related.
A. \(\le\) द्वारा बना संबंध/Relation defined by \(\le\)
Step 1
Concept
आंशिक क्रम में स्वसमता, विरोधी सममितता और संक्रमणीयता चाहिए। / A partial order needs reflexivity, antisymmetry and transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
\(\le\) संबंध ये तीनों गुण पूरा करता है। / The relation \(\le\) satisfies all three.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता और आंशिक क्रम में अंतर याद रखें: तुल्यता में सममितता, आंशिक क्रम में विरोधी सममितता होती है। / Remember the difference: equivalence uses symmetry, partial order uses antisymmetry.
विरोधी सममितता में दो उल्टे युग्म तभी साथ हो सकते हैं जब दोनों अवयव समान हों। / In antisymmetry, two reverse pairs can both exist only when the two elements are equal.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) से (a=b) निष्कर्ष आता है। / So ((a,b)) and ((b,a)) imply (a=b).
Step 3
Exam Tip
विरोधी सममितता को सममितता का विपरीत समझने की गलती न करें। / Do not treat antisymmetry as simply the opposite of symmetry.
