Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x\geq0\) पर (f(x)=x-2) और (x<0) पर (f(x)=-x-2) होता है। / For \(x\geq0\), (f(x)=x-2), and for (x<0), (f(x)=-x-2).
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक आगत ऋणात्मक मान और धनात्मक आगत धनात्मक मान देते हैं, तथा मान क्रम से बढ़ते हैं। / Negative inputs give negative outputs and positive inputs give positive outputs, with ordered growth.
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (y) के लिए ठीक एक (x) मिलता है, इसलिए फलन द्विआधारी है। / Every real (y) has exactly one preimage, so the function is bijective.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। / That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है। / Hence (g) must be onto.
\(x\neq1\) होने पर \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) बनता है। / For \(x\neq1\), \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\).
Step 3
Exam Tip
काटने से पहले जिस मान पर हर शून्य है, उसे प्रांत से हटाना नहीं भूलें। / Even after cancellation, the value making the original denominator zero must be excluded.
B. (g) (f) के \(x\geq0\) तक सीमित रूप का प्रतिलोम है/(g) is the inverse of (f) restricted to \(x\geq0\)
Step 1
Concept
(f(x)=x-2+1) पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / (f(x)=x-2+1) is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि प्रांत \(x\geq0\) तक सीमित करें, तो \(y=x^2+1\) से \(x=\sqrt{y-1}\) मिलता है। / If its domain is restricted to \(x\geq0\), then \(y=x^2+1\) gives \(x=\sqrt{y-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम बनाने के लिए कई बार प्रांत को उचित रूप से सीमित करना पड़ता है। / To define an inverse, the domain often needs a suitable restriction.
किसी भी वास्तविक (x) को पूर्णांक भाग और भिन्नांश भाग के योग के रूप में लिखा जाता है। / Every real (x) is the sum of its greatest integer part and fractional part.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\)। / Therefore \(\lfloor x\rfloor+{x}=x\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक भाग से जुड़े प्रश्नों में मूल पहचान याद रखें। / For greatest integer questions, remember this basic identity.
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। / For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है। / Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour.
