यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the range of (f)?
#range
#am gm
#positive domain
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,2]\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। / For positive (x), \(x+\frac{1}{x}\geq2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) पर मान (2) मिल जाता है। / At (x=1), the value (2) is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है। / The AM-GM idea is very useful for such range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +px+q) से दिया गया है और उसका न्यूनतम मान (5) है जो (x=2) पर मिलता है, तो (p,q) क्या हैं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +px+q) and its minimum value is (5) at (x=2), what are (p,q)?
#quadratic function
#minimum
#parameters
A (p=-4,q=9)
B (p=4,q=-3)
C (p=-2,q=7)
D (p=2,q=1)
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Correct Answer
A. (p=-4,q=9)
Step 1
Concept
शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। / The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। / From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
(f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)। / Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=mx-2 +1) से दिया गया है, तो (f) के पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होने के लिए (m) का कौन सा मान संभव है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=mx-2 +1), which value of (m) can make (f) one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#parameter
#one-one
#quadratic
A कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
B केवल (m=1) / Only (m=1)
C केवल (m=-1) / Only (m=-1)
D हर \(m\neq0\) / Every \(m\neq0\)
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
Step 1
Concept
यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। / If \(m\neq0\), then (f(1)=f(-1)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। / If (m=0), the function becomes the constant (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से परिभाषित माना जाए, तो इसे फलन बनाने के लिए प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is considered as (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which value must be removed from the domain to make it a function?
#domain
#rational function
#well defined
A (3)
B (-3)
C (1)
D (-1)
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Step 1
Concept
भिन्न में हर (x+3) है। / The denominator is (x+3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। / Solving (x+3=0) gives (x=-3).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है। / A value making the denominator zero must be removed from the domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{-3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is given by (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which statement about (f) is correct?
#bijection
#rational function
#inverse
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह स्थिर है / It is constant
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x-1}{x+3}\) से \(x=\frac{1+3y}{2-y}\) मिलता है। / From \(y=\frac{2x-1}{x+3}\), we get \(x=\frac{1+3y}{2-y}\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\neq2\) के लिए एक अद्वितीय (x) मिलता है और \(x\neq-3\) रहता है। / For every \(y\neq2\), there is a unique (x), and \(x\neq-3\).
Step 3
Exam Tip
जब हर मान का ठीक एक पूर्वप्रतिबिंब हो, फलन द्विआधारी होता है। / A function with exactly one preimage for every codomain value is bijective.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x)) क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are (f(x)=x-2 ), (g(x)=x+1), what is (\(f\circ g\)(x)-\(g\circ f\)(x))?
#composition
#difference
#functions
A (2x)
B (2x+1)
C \(x^2+1\)
D (0)
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Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 )। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=(x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x-2 +1).
Step 3
Exam Tip
अंतर ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x) है। / The difference is ((x+1)2 -\(x^2+1\)=2x).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), और (f(x)>0), तो (f(-x)) किसके बराबर होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)f(y)), (f(0)=1), and (f(x)>0), what is (f(-x))?
#functional equation
#inverse value
#functions
A (\frac{1}{f(x)})
B (f(x))
C (-f(x))
D (0)
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Correct Answer
A. (\frac{1}{f(x)})
Step 1
Concept
(x+(-x)=0) रखें। / Put (x+(-x)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=f(x)f(-x)=1)। / Then (f(0)=f(x)f(-x)=1).
Step 3
Exam Tip
(f(x)>0) होने से (f(-x)=\frac{1}{f(x)}) मिलता है। / Since (f(x)>0), (f(-x)=\frac{1}{f(x)}).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसा है कि (f(x+y)=f(x)+f(y)) और (f(1)=3), तो (f(5)) का मान क्या होगा, यदि (f) रैखिक माना जाए?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+y)=f(x)+f(y)) and (f(1)=3), what is (f(5)), assuming (f) is linear?
#functional equation
#linear function
#value
A (8)
B (15)
C (3)
D (5)
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Step 1
Concept
योग गुण के अनुसार (f(5)=f(1+1+1+1+1))। / By the additive property, (f(5)=f(1+1+1+1+1)).
Step 2
Why this answer is correct
यह (5f(1)=5\cdot3=15) होगा। / This becomes (5f(1)=5\cdot3=15).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दिए हुए मान को बार-बार जोड़कर उपयोग करें। / In such questions, use repeated addition of the given value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\max{x,1-x}) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\max{x,1-x}), what is the minimum value of (f)?
#maximum function
#minimum value
#range
A \(\frac{1}{2}\)
B (0)
C (1)
D कोई न्यूनतम मान नहीं / No minimum value
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Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
अधिकतम मान को छोटा करने के लिए (x) और (1-x) को बराबर करना चाहिए। / To minimize the maximum, make (x) and (1-x) equal.
Step 2
Why this answer is correct
(x=1-x) से \(x=\frac{1}{2}\) मिलता है। / Solving (x=1-x) gives \(x=\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
उस बिंदु पर दोनों मान \(\frac{1}{2}\) हैं, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) है। / At this point both values are \(\frac{1}{2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\min{x-2 ,4}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\min{x-2 ,4}), what is the range of (f)?
#minimum function
#range
#piecewise idea
A ([0,4])
B ([0,4))
C ((0,4])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,4])
Step 1
Concept
\(x^2\) का मान (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / \(x^2\) starts from (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\geq4\) होने पर फलन (4) ही लेता है। / When \(x^2\geq4\), the function takes the value (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (0) से (4) तक सभी मान मिलते हैं और दोनों सिरों के मान शामिल हैं। / Hence all values from (0) to (4) are attained, including both endpoints.
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