Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / (c) is not the image of any element, so the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें। / For finite sets, list the images to test both properties.
A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
(f(0)=0) है। / (f(0)=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग इनपुट की समान छवि मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / If two distinct inputs give the same image, the function is not one-one.
यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को \(f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}\) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?
\(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Put \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) and solve for (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(y(2x+1)=3x-4\), इसलिए \(x(2y-3)=-(y+4)\)। / \(y(2x+1)=3x-4\), so \(x(2y-3)=-(y+4)\).
Step 3
Exam Tip
\(2y-3=0\) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा। / If \(2y-3=0\), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range.
कुल फलन \(3^4=81\) हैं। / Total functions are \(3^4=81\).
Step 2
Why this answer is correct
जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\)। / Remove functions that miss at least one element: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे। / Onto functions are (81-45=36).
(y=(x-3)2+1) से ((x-3)2=y-1) मिलता है। / From (y=(x-3)2+1), we get ((x-3)2=y-1).
Step 3
Exam Tip
प्रांत \([3,\infty\)) है, इसलिए \(x-3\geq0\) और प्रतिलोम \(3+\sqrt{x-1}\) होगा। / Since the domain is \([3,\infty\)), \(x-3\geq0\), so the inverse is \(3+\sqrt{x-1}\).
\(g\circ f\) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। / In \(g\circ f\), (f) acts first and then (g).
Step 2
Why this answer is correct
वापस आने के लिए पहले \(g^{-1}\) और फिर \(f^{-1}\) लगाना पड़ेगा। / To reverse the process, apply \(g^{-1}\) first and then \(f^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है। / Hence the order reverses, so (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}).
यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है। / Therefore, the function is one-one but not onto.
एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f\(\sqrt{3}\)=1), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=1) and (f\(\sqrt{3}\)=1), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद फलन में एक छोटा प्रतिवाद एकैकीपन को तुरंत तोड़ देता है। / For polynomial functions, one clear counterexample quickly settles one-one behaviour.
\(x^3+x+5\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए अलग आगत अलग निर्गत देते हैं। / \(x^3+x+5\) is strictly increasing, so different inputs give different outputs.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ और पूरा वास्तविक परास लेने वाला फलन द्विआधारी होता है। / A strictly increasing function covering all real values is bijective.
