Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए वे ठीक हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so they are fine.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,2)) भी दोनों हैं। केवल ((1,3)) का उल्टा ((3,1)) नहीं है। / ((2,3)) and ((3,2)) are also both present. Only the reverse of ((1,3)), which is ((3,1)), is missing.
Step 3
Exam Tip
हर असमान युग्म की जोड़ी बनाकर जाँचें। / Check off-diagonal pairs in reverse-pair groups.
A. (R) सममित है क्योंकि (a+b=b+a)/(R) is symmetric because (a+b=b+a)
Step 1
Concept
यदि (a+b) (5) का गुणज है, तो (b+a) भी वही योग देगा। / If (a+b) is a multiple of (5), then (b+a) gives the same sum.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Hence ((b,a)) belongs to the relation whenever ((a,b)) does.
Step 3
Exam Tip
गुणज वाली योग-शर्त में संख्या का सम या विषम होना सममितता को नहीं रोकता। / For sum-multiple conditions, whether the modulus is even or odd does not affect symmetry.
\(R^{-1}\) में सभी युग्म उलट जाते हैं। / In \(R^{-1}\), all ordered pairs are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
\(R=R^{-1}\) तभी होगा जब हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से (R) में हो। यही सममितता है। / \(R=R^{-1}\) exactly when every reverse pair is already in (R), which is symmetry.
Step 3
Exam Tip
\(R=R^{-1}\) सममितता की बहुत उपयोगी पहचान है। / \(R=R^{-1}\) is a very useful test for symmetry.
आव्यूह से सममितता जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ बराबर होनी चाहिए। / For a relation matrix to represent a symmetric relation, entries across the main diagonal must match.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ पहली और तीसरी स्थिति पर \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), तथा बाकी विपरीत प्रविष्टियाँ भी बराबर हैं। / Here \(m_{13}=1\) and \(m_{31}=1\), and the other opposite entries also match.
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने स्थानांतरण के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / A relation is symmetric when its matrix equals its transpose.
(a+b=2a) से (b=a) मिलता है। / From (a+b=2a), we get (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के विकर्ण युग्म आएँगे, जो अपने उल्टे खुद होते हैं। / So the relation contains only diagonal pairs ((a,a)), and each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
पहले शर्त सरल करें, फिर सममितता जाँचें। / Simplify the condition first, then check symmetry.
(a+b=2b) से (a=b) मिलता है। / From (a+b=2b), we get (a=b).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R) में केवल विकर्ण युग्म होंगे, जैसे ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4))। ये सभी अपने उल्टे खुद हैं। / Thus (R) contains only diagonal pairs such as ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)). Each is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
कभी-कभी अलग दिखने वाली शर्त भी केवल विकर्ण संबंध दे सकती है। / Sometimes a condition that looks different may still define only a diagonal relation.
