यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), तो (A) क्या है?
If \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2\le 0}\), what is (A)?
#sets
#singleton-set
#integer-solutions
#inequality
A \(\varnothing\)
B ({0})
C ({-1,0,1})
D \(\mathbb{Z}\)
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Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक के लिए \(x^2\ge 0\) होता है। / For every integer, \(x^2\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2\le 0\) तभी होगा जब \(x^2=0\), यानी (x=0)। / The condition \(x^2\le 0\) is possible only when \(x^2=0\), so (x=0).
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक वर्ग से जुड़े प्रश्नों में (0) को अलग से जाँचें। / In non-negative square questions, check zero separately.
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कौन सा कथन रिक्त समुच्चय के लिए गलत है?
Which statement is false for the empty set?
#sets
#empty-set
#zero
#misconception
A इसमें कोई अवयव नहीं होता / it has no element
B यह परिमित समुच्चय है / it is a finite set
C इसकी अवयव-संख्या (0) है / its number of elements is (0)
D यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
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Correct Answer
D. यह ({0}) के बराबर है / it is equal to ({0})
Step 1
Concept
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता और उसकी संख्या (0) है। / The empty set has no element and its cardinality is (0).
Step 2
Why this answer is correct
({0}) में (0) एक अवयव है, इसलिए वह रिक्त नहीं है। / The set ({0}) contains (0) as an element, so it is not empty.
Step 3
Exam Tip
अवयव-संख्या (0) और अवयव (0) में अंतर समझें। / Understand the difference between cardinality (0) and element (0).
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 30 का गुणनखंड है और \(x>30}), तो (A) क्या होगा\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 30 and \(x>30}), what will (A) be\)?
#sets
#empty-set
#factors
#logical-condition
A \(\varnothing\)
B ({30})
C \({31,32,33,\ldots}\)
D ({1,2,3,5,6,10,15,30})
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Correct Answer
A. \(\varnothing\)
Step 1
Concept
किसी धनात्मक संख्या का कोई प्राकृतिक गुणनखंड उससे बड़ा नहीं होता। / No natural factor of a positive number is greater than the number itself.
Step 2
Why this answer is correct
(30) का सबसे बड़ा गुणनखंड (30) ही है। / The greatest factor of (30) is (30).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंड और उससे बड़ी संख्या वाली शर्त साथ आए तो रिक्तता जाँचें। / When a factor is required to be greater than the number, check for emptiness.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 4 का गुणज है और \(x\le 20}), तो (A) किसके बराबर है\)?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a multiple of 4 and \(x\le 20}), what is (A) equal to\)?
#sets
#finite-set
#multiples
#equal-sets
A ({4,8,12,16,20})
B ({0,4,8,12,16,20})
C ({4,8,12,16})
D अपरिमित समुच्चय / infinite set
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Correct Answer
A. ({4,8,12,16,20})
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याओं में (4) के गुणज \(4,8,12,16,20,\ldots\) हैं। / Multiples of (4) in natural numbers are \(4,8,12,16,20,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\le 20\) होने से केवल (4,8,12,16,20) बचते हैं। / The condition \(x\le 20\) leaves (4,8,12,16,20).
Step 3
Exam Tip
ऊपरी सीमा गुणजों के अपरिमित समुच्चय को परिमित बना देती है। / An upper bound turns this infinite pattern into a finite set.
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किस विकल्प में (A) और (B) बराबर हैं?
In which option are (A) and (B) equal?
#sets
#equal-sets
#natural-numbers
#convention
A \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={0,1,2,3,4}\)
B \(A={x\in\mathbb{N}:x\le 5}, B={1,2,3,4}\)
C \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={1,2,3,4}\)
D \(A={x\in\mathbb{N}:x>5}, B={1,2,3,4}\)
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Correct Answer
C. \(A={x\in\mathbb{N}:x<5}, B={1,2,3,4}\)
Step 1
Concept
विद्यालयी \(\mathbb{N}\) में (0) शामिल नहीं माना गया है। / In the school convention used here, (0) is not included in \(\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
(x<5) वाली प्राकृतिक संख्याएँ (1,2,3,4) हैं। / The natural numbers less than (5) are (1,2,3,4).
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{N}\) की परिभाषा प्रश्न में जैसे दी हो, उसी का पालन करें। / Follow the definition of \(\mathbb{N}\) given or assumed in the question.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{R}:x^2=2}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about \(A={x\in\mathbb{R}:x^2=2}\).
#sets
#finite-set
#real-solutions
#quadratic
A \(A=\varnothing\)
B \(A={\sqrt{2}}\)
C \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), परिमित / \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), finite
D (A) अपरिमित है / (A) is infinite
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Correct Answer
C. \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), परिमित / \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\), finite
Step 1
Concept
\(x^2=2\) के वास्तविक हल \(\sqrt{2}\) और \(-\sqrt{2}\) हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are \(\sqrt{2}\) and \(-\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समुच्चय में दो अवयव हैं और वह परिमित है। / Thus the set has two elements and is finite.
Step 3
Exam Tip
वर्ग समीकरण में ऋणात्मक मूल को न छोड़ें। / Do not miss the negative root in a square equation.
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समुच्चय \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=2}\) के लिए सही उत्तर क्या है?
What is the correct answer for \(A={x\in\mathbb{Z}:x^2=2}\)?
#sets
#empty-set
#integer-solutions
#domain
A \(A={-\sqrt{2},\sqrt{2}}\)
B \(A={\sqrt{2}}\)
C \(A=\varnothing\)
D \(A=\{2\}\)
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Correct Answer
C. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
\(x^2=2\) के वास्तविक हल पूर्णांक नहीं हैं। / The real solutions of \(x^2=2\) are not integers.
Step 2
Why this answer is correct
पूर्णांक क्षेत्र में कोई (x) यह शर्त पूरी नहीं करता। / In the integer domain, no (x) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
समान समीकरण का उत्तर क्षेत्र बदलने पर बदल सकता है। / The same equation can give different sets when the domain changes.
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कौन सा समुच्चय परिमित है, यद्यपि उसके अवयव लिखना लंबा हो सकता है?
Which set is finite even though listing its elements may be long?
#sets
#finite-set
#prime-numbers
#bounded
A \(({x\in\mathbb{N}:x\) अभाज्य है}) / set of prime natural numbers
B \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है}) / primes less than (1000)
C \({x\in\mathbb{Z}:x<0}\) / negative integers
D \({x\in\mathbb{R}:0<x<1}\) / real numbers between (0) and (1)
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Correct Answer
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 1000 से छोटा अभाज्य है}) / primes less than (1000)
Step 1
Concept
(1000) से छोटी प्राकृतिक संख्याएँ सीमित हैं। / There are only finitely many natural numbers less than (1000).
Step 2
Why this answer is correct
उनमें अभाज्य संख्याएँ भी सीमित संख्या में ही होंगी। / Therefore the primes among them are also finite in number.
Step 3
Exam Tip
बड़ा परिमित समुच्चय भी परिमित ही रहता है। / A large finite set is still finite.
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कौन सा समुच्चय अपरिमित है, पर उसे सरल नियम से लिखा जा सकता है?
Which set is infinite but can be written by a simple rule?
#sets
#infinite-set
#set-builder
#multiples
A \({x\in\mathbb{N}:x\le 10}\)
B \(({x\in\mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है}) / natural multiples of (3)
C \({x\in\mathbb{Z}:x^2=25}\) / integer solutions of \(x^2=25\)
D \({x\in\mathbb{N}:x<1}\) / natural numbers less than (1)
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Correct Answer
B. \(({x\in\mathbb{N}:x\) 3 का गुणज है}) / natural multiples of (3)
Step 1
Concept
(3) के प्राकृतिक गुणज \(3,6,9,\ldots\) लगातार चलते हैं। / Natural multiples of (3) are \(3,6,9,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
इनका कोई अंतिम अवयव नहीं है। / They have no last element.
Step 3
Exam Tip
सरल नियम होने का अर्थ परिमित होना नहीं है। / Having a simple rule does not mean the set is finite.
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\(यदि (A={x\in\mathbb{N}:x\) 10 का गुणनखंड है\(}) और (B={x\in\mathbb{N}:x\) 20 का गुणनखंड है}), तो कौन सा कथन सही है?
\(If (A={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of \(10}) and (B={x\in\mathbb{N}:x\) is a factor of 20}), which statement is correct?
#sets
#equal-sets
#finite-set
#factors
A (A=B)
B \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं / \(A\ne B\), but both are finite
C दोनों अपरिमित हैं / both are infinite
D दोनों रिक्त हैं / both are empty
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Correct Answer
B. \(A\ne B\), पर दोनों परिमित हैं / \(A\ne B\), but both are finite
Step 1
Concept
(10) के गुणनखंड ({1,2,5,10}) हैं। / The factors of (10) are ({1,2,5,10}).
Step 2
Why this answer is correct
(20) के गुणनखंड ({1,2,4,5,10,20}) हैं, इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। / The factors of (20) are ({1,2,4,5,10,20}), so the sets are not equal.
Step 3
Exam Tip
निश्चित संख्याओं के गुणनखंडों के समुच्चय परिमित होते हैं। / Factors of fixed numbers form finite sets.
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