Level 13 • 50/50 questions • 35 seconds per question.
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A. (40)
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाएं। परीक्षा में साझा भाग को दो बार गिनने की गलती न करें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not count the common part twice.
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A. (12)
पहले (n\(A\cup B\)=95-20=75), फिर (n\(A\cap B\)=48+39-75=12)। ऐसे प्रश्नों में बाहर का भाग दिया हो तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=95-20=75), then (n\(A\cap B\)=48+39-75=12). In such questions, if the outside part is given, find the union first.
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If (n(A)=35), (n(B)=30), and (n\(A\cup B\)=50), then what is (n\(A\cap B\)) in the Venn diagram?
A. (15)
(n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15)। दिए गए तीन मानों से चौथा मान सीधे निकाला जा सकता है। / (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)=35+30-50=15). The fourth value can be found directly from the three given values.
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A. (16)
पहले (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), इसलिए बाहर (80-64=16)। वेन आरेख में बाहर का क्षेत्र (U-\(A\cup B\)) होता है। / First (n\(A\cup B\)=45+37-18=64), so outside is (80-64=16). In a Venn diagram, the outside region is (U-\(A\cup B\)).
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If (n(A)=32) and (n\(A\cap B\)=14), then how many elements are only in (A) in the Venn diagram?
A. (18)
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18) है। आरेख बनाकर मध्य भाग घटाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Only (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=32-14=18). Drawing the diagram and subtracting the middle part is the safest method.
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A. 24
केवल B क्षेत्र की संख्या = कुल B − A∩B = \(41-17=24\)। विकल्प C (17) केवल साझा भाग A∩B का आकार है; विकल्प D (41) पूरे सेट B का आकार है जिसमें साझा भाग भी शामिल है; विकल्प B (58) गलत है क्योंकि यह कुल B से बड़ा है और अर्थहीन है। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर 'केवल A', 'केवल B' और 'A∩B' को पहले चिह्नित करके कुल में से साझा भाग घटाएं। / Elements only in B = total B − A∩B = \(41-17=24\). Option C (17) is the intersection size; option D (41) is the entire size of B including the intersection; option B (58) is incorrect because it exceeds the total of B. Exam tip: Label the regions on the Venn diagram first and subtract intersections from totals to avoid mistakes.
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A. (27)
संघ में तीन अलग-अलग क्षेत्र जुड़ते हैं, इसलिए (12+9+6=27)। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ें। / The union is the sum of three separate regions, so (12+9+6=27). In Venn diagrams, add non-overlapping regions directly.
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If \(A\subseteq B\), (n(A)=18), and (n(B)=45), what is (n(B-A))?
A. (27)
जब \(A\subseteq B\), तब (A) पूरा (B) के अंदर होता है, इसलिए (45-18=27)। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर बनता है। / When \(A\subseteq B\), all of (A) lies inside (B), so (45-18=27). In a subset Venn diagram, the smaller circle is inside the larger one.
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If \(A\cap B=\varnothing\), (n(A)=26), and (n(B)=19), what is (n\(A\cup B\))?
A. (45)
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (26+19=45)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य मानें। / Disjoint sets have common part (0), so (26+19=45). When \(A\cap B=\varnothing\), take the subtracted part as zero.
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Which part does \(A\cap B\) show in a Venn diagram?
A. दोनों (A) और (B) में आने वाला साझा भागCommon part in both (A) and (B)
\(A\cap B\) वे तत्व हैं जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ होते हैं। वेन आरेख में यह ओवरलैप क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\) contains elements that are in both sets together. In a Venn diagram, it is the overlap region.
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A. (25)
(n\(A\cup B\)=52+44-21=75), इसलिए पूरक (100-75=25)। पूरक के लिए सार्वत्रिक समुच्चय से घटाएं। / (n\(A\cup B\)=52+44-21=75), so the complement is (100-75=25). For complement, subtract from the universal set.
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If (n(U)=70), (n(A)=38), and (n\(A^c\)=32), which statement is correct?
A. (n(A)+n\(A^c\)=n(U))
किसी समुच्चय और उसके पूरक का योग (U) के बराबर होता है। वेन आरेख में वृत्त और उसके बाहर का भाग मिलकर पूरा आयत बनाते हैं। / A set and its complement together equal (U). In a Venn diagram, the circle and the outside part together form the whole rectangle.
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A. 0
कुल 60 विद्यार्थियों में से 5 किसी भी सेट में नहीं हैं, अतः \(n(A\cup B)=60-5=55\). Inclusion–exclusion सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। इसलिए \(55=25+30-n(A\cap B)\) और मिलाकर \(n(A\cap B)=0\)। नजदीकी ग़लत विकल्प 5 इसलिए गलत है क्योंकि वह मानता कि \(n(A\cup B)=50\) होगा, जो कुल और "किसी में नहीं" की जानकारी से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सुझाव: पहले "neither" को कुल से घटाकर union निकालें, फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Out of 60 students, 5 are in neither set, so \(n(A\cup B)=60-5=55\). Use inclusion–exclusion: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(55=25+30-n(A\cap B)\) giving \(n(A\cap B)=0\). The closest wrong choice 5 would imply \(n(A\cup B)=50\), which contradicts the given "neither" count. Exam tip: subtract the neither count from the total to get the union, then apply the inclusion–exclusion formula.
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A. (54)
कम से कम एक का अर्थ \(A\cup B\) है, इसलिए (40+32-18=54)। ऐसे प्रश्नों में दोनों पसंद करते हैं को एक बार ही गिनें। / At least one means \(A\cup B\), so (40+32-18=54). In such questions, count those who like both only once.
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A. (15)
केवल गणित (27-12=15) है। वेन आरेख में पहले बीच का भाग लिखें और फिर बचे हुए भाग निकालें। / Only Mathematics is (27-12=15). In a Venn diagram, write the middle part first and then find the remaining parts.
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(n(A-B)=16) and (n\(A\cap B\)=11). What is (n(A))?
A. 27
सेट A को दो असांघि (disjoint) भागों में विभाजित किया जा सकता है: \(A-B\) और \(A\cap B\). इसलिए कार्डिनैलिटी जोड़नीय है: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). विकल्प C (16) केवल \(A-B\) के तत्व दिखाता है और विकल्प D (11) केवल सम्मिलन के तत्व — दोनों का योग ही पूर्ण A देता है। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के तत्व गिनते समय उसे असांघि उप-सेट्स में बाँटकर जोड़ें। / Set A splits into two disjoint parts: \(A-B\) and \(A\cap B\). Cardinalities of disjoint parts add, so \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=16+11=27\). Option C (16) counts only \(A-B\) and option D (11) counts only the intersection; neither alone gives the whole A. Exam tip: partition a set into disjoint pieces and add their cardinalities when counting elements.
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If (n\(A\cup B\)=48), (n(A-B)=20), and (n(B-A)=13), what is (n\(A\cap B\))?
A. (15)
संघ के तीन अलग भाग हैं, इसलिए साझा भाग (48-20-13=15) होगा। अलग-अलग क्षेत्रों को मिलाना वेन आरेख का मुख्य नियम है। / The union has three separate parts, so the common part is (48-20-13=15). Combining separate regions is the main rule of Venn diagrams.
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For three sets, which part is \(A\cap B\cap C\) in a Venn diagram?
A. तीनों वृत्तों का साझा केंद्रीय भागCommon central part of all three circles
\(A\cap B\cap C\) में वे तत्व होते हैं जो तीनों में मौजूद हों। तीन वृत्तों में यह सबसे बीच का साझा क्षेत्र है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements present in all three sets. In three circles, it is the central common region.
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A. (62)
सूत्र (30+28+24-10-8-6+4=62) देता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ना याद रखें। / The formula gives (30+28+24-10-8-6+4=62). For three sets, remember to add back the final common part.
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In three sets, how do we get the only (A) region?
A. (n(A)-n\(A\cap B\)-n\(A\cap C\)+n\(A\cap B\cap C\))
केवल (A) निकालते समय \(A\cap B\) और \(A\cap C\) घटते हैं, लेकिन केंद्रीय भाग दो बार घट जाता है इसलिए एक बार जोड़ते हैं। यही समावेशन-बहिष्करण का प्रयोग है। / While finding only (A), subtract \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the central part is subtracted twice, so add it once. This is inclusion-exclusion in use.
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A. 16
केवल A के तत्व वे हैं जो A में हैं पर B या C में नहीं। A में से उन तत्वों को घटाएँ जो A∩B और A∩C में हैं, परन्तु A∩B∩C भाग को दो बार घटाया गया होगा इसलिए उसे एक बार जोड़ना आवश्यक है। इसलिए केवल A = \(42-15-18+7=16\)। आम त्रुटि: \(42-15-18=9\) तब प्राप्त होता है जब त्रि-छेत्र \(A\cap B\cap C\) को वापस नहीं जोड़ा जाता। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाकर जोड़ों और त्रि-छेत्र को चिन्हित करें ताकि चिन्हों की गलती न हो। / Only-A elements are those in A but not in B or C. Subtract the counts in \(A\cap B\) and \(A\cap C\), but the triple-overlap \(A\cap B\cap C\) was subtracted twice so it must be added once. Thus Only A = \(42-15-18+7=16\). A common mistake is getting \(42-15-18=9\) by forgetting to add the triple intersection back. Exam tip: draw a three-set Venn diagram and mark pairwise and triple overlaps to avoid sign errors.
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A. (9)
केवल (A) और (B) के लिए केंद्रीय भाग घटाएं, (14-5=9)। जोड़ी वाले क्षेत्र में तीनों का साझा भाग शामिल होता है। / For only (A) and (B), subtract the central part, (14-5=9). A pairwise intersection includes the common part of all three.
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A. (14)
किसी में नहीं (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14) है। बाहर का भाग हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None is (n(U)-n\(A\cup B\cup C\)=90-76=14). The outside part is always found by subtracting the union from the universal set.
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If (A) and (B) are two overlapping circles in a Venn diagram, which part is (A-B)?
A. (A) का वह भाग जो (B) में नहीं हैPart of (A) that is not in (B)
(A-B) का अर्थ (A) में मौजूद लेकिन (B) में अनुपस्थित तत्व हैं। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-B) means elements present in (A) but absent in (B). In a Venn diagram, it is the only (A) region.
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What region does \(A\triangle B\) represent in a Venn diagram?
A. (A-B) और (B-A) का संयुक्त क्षेत्रCombined region of (A-B) and (B-A)
\(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. So the common part is not included.
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If (n(A-B)=23) and (n(B-A)=31), what is (n\(A\triangle B\))?
A. (54)
सममित अंतर \(A\triangle B\) दो अलग क्षेत्रों (A-B) और (B-A) का योग है। इसलिए (23+31=54)। / The symmetric difference \(A\triangle B\) is the sum of the two separate regions (A-B) and (B-A). Hence (23+31=54).
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A. (46)
ठीक एक समुच्चय (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46) है। संघ में साझा भाग भी शामिल होता है, इसलिए उसे हटाएं। / Exactly one set is (n\(A\cup B\)-n\(A\cap B\)=63-17=46). The union includes the common part, so remove it.
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If \(A\subseteq B\), what is \(A\cup B\) equal to in a Venn diagram?
A. \(B\)
यदि \(A\subseteq B\) है तो संपूर्ण सेट \(A\) पहले से ही \(B\) के अंदर मौजूद है। इसलिए दोनों का संघ \(A\cup B\) उन तत्वों का वह सेट होगा जो \(B\) में हैं — अर्थात् \(B\) ही। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(A\) तब ही संघ के बराबर होगा जब \(B\subseteq A\) भी सत्य हो (यानी दोनों बराबर हों)। विकल्प (D) का अर्थ \(A\) का वह भाग है जो \(B\) के बाहर है; परन्तु \(A\subseteq B\) होने पर ऐसा कोई भाग नहीं रहेगा और \(A\cap B^c=\varnothing\) बनता है, अतः (C) और (D) संघ के लिए गलत हैं। परीक्षा टिप: यदि \(A\subseteq B\) तो हमेशा \(A\cup B=B\) और \(A\cap B=A\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) already lies in \(B\). Hence the union \(A\cup B\) contains exactly the elements of \(B\), so \(A\cup B=B\). Option B (\(A\)) would be correct only if \(B\subseteq A\) as well (i.e., \(A=B\)). Option D, \(A\cap B^c\), denotes elements of \(A\) outside \(B\); under \(A\subseteq B\) that set is empty (\(\varnothing\)), so D does not give the union. Exam tip: remember the subset identities — if \(A\subseteq B\) then \(A\cup B=B\) and \(A\cap B=A\).
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When \(A\subseteq B\), what is \(A\cap B\) equal to?
A. (A)
जब (A) पूरी तरह (B) में है, तो साझा भाग (A) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानकर सूत्र के बिना उत्तर मिल सकता है। / When (A) is fully inside (B), the common part is (A) itself. Recognizing subset relation can give the answer without formula.
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(A) and (B) are disjoint. Which statement is correct?
A. \(A\cap B=\varnothing\)
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा तत्व नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में उनके वृत्त अलग-अलग बनते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles are separate.
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If (n(A)=20), (n(B)=25), and \(A\cap B=\varnothing\), how many elements are in exactly one set?
A. (45)
असंबद्ध समुच्चयों में हर तत्व ठीक एक ही समुच्चय में होता है, इसलिए (20+25=45)। यहां साझा भाग शून्य है। / In disjoint sets, every element is in exactly one of the sets, so (20+25=45). Here the common part is zero.
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A. {2}
परिचय: किसी दो समुच्चयों का प्रतिच्छेद (intersection) उन तत्वों का समुच्चय है जो दोनों में एक साथ उपस्थित हों। A में {2,4,6,8,10} हैं और B में {1,2,3,5,7} हैं — दोनों में केवल 2 सामान्य है। इसलिए \(A\cap B=\{2\}\)। नज़दीकी भ्रम (विकल्प C) इसलिए गलत है क्योंकि वह A का शेष भाग देता है पर B में वे तत्व नहीं हैं; विकल्प B और D भी गलत हैं क्योंकि वे दोनों में मौजूद एकमात्र सामान्य तत्व 2 को छोड़ देते हैं। परीक्षा टिप: प्रतिच्छेद के लिए दोनों समुच्चयों के सामान्य तत्व सूचिबद्ध कर लें। / Concept: The intersection of two sets contains only elements that are present in both sets. A = {2,4,6,8,10} and B = {1,2,3,5,7} share only the element 2. Hence \(A\cap B=\{2\}\). Closest distractor (option C) lists elements of A except 2, but those are not in B, so it is incorrect; options B and D are also incorrect because they do not include the only common element 2. Exam tip: To find intersection, list elements of each set and pick the common ones.
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Let U = {a,b,c,d,e,f}, A = {a,c,e} and B = {b,c,d}. What is \(A \cup B\)?
A. {a,b,c,d,e}
समूह (union) में A और B दोनों समूहों के सभी भिन्न (distinct) तत्व शामिल होते हैं। A के तत्व {a,c,e} और B के तत्व {b,c,d} को मिलाने पर मिलकर {a,b,c,d,e} बनता है — 'c' को एक बार ही लिखते हैं। विकल्प {a,e} को चुनने पर b और d गायब रह जाते; {c} केवल समापवर्तक (intersection) है; और {f} यूनिवर्सल सेट में है पर न A में है न B में। परीक्षा टिप: यूनीयन निकालने के लिए दोनों सेटों के सभी तत्व लिखें और डुप्लिकेट हटा दें या एक छोटा वैन आरेख बनाकर शेडिंग देखें। / The union contains every distinct element that appears in A or B. Combining A = {a,c,e} and B = {b,c,d} gives {a,b,c,d,e} — the common element c is written once. {a,e} omits b and d, {c} is only the intersection, and {f} is not in A or B. Exam tip: list elements from both sets and remove duplicates, or draw a simple Venn diagram to visualize the union.
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A. {2,4,6}
पूरक A^c में वे तत्व आते हैं जो सार्वभौमिक सेट U में हैं पर A में नहीं। U के तत्व {1,2,3,4,5,6,7} में से A = {1,3,5,7} को हटा देने पर शेष {2,4,6} बचते हैं। इसलिए A^c = {2,4,6}। विकल्प B गलत है क्योंकि वह A खुद है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा सार्वभौमिक सेट है न कि A का पूरक, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक रिक्त集合 नहीं है। परीक्षा टिप: U की सूची लिखकर A के तत्वों को काट दें — जो बचे वही A^c है। / The complement A^c consists of elements in the universal set U that are not in A. Removing A = {1,3,5,7} from U = {1,2,3,4,5,6,7} leaves {2,4,6}, so A^c = {2,4,6}. Option B is just A, option C is the entire universal set (not the complement), and option D (empty set) is incorrect. Exam tip: write U and cross out all elements of A — the remainder is A^c.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\). What is (A-B)?
A. ({1,2,3})
(A-B) में (A) के वे तत्व होते हैं जो (B) में नहीं हैं। (4) और (5) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B). (4) and (5) are common, so they are removed.
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A = {p, q, r, s} and B = {r, s, t}. What is B − A?
A. {t}
समुच्चय का अंतर B − A उन तत्वों का समूह है जो B में हैं पर A में नहीं। B के तत्व हैं r, s, t; इनमें r और s दोनों A में भी हैं, इसलिए केवल t ही B − A में बचेगा। विकल्प {r, s} गलत है क्योंकि r और s A में भी हैं; {p, q} केवल A के तत्व हैं; पूर्ण समुच्चय वाली विकल्प गलत है क्योंकि अंतर यूनियन नहीं है। परीक्षा टीप: समुच्चयों के अंतर के लिए हर तत्व की सदस्यता दोनों समुच्चय में जाँचे — यदि वह A में भी है तो उसे बाहर कर दें। / The set difference B − A consists of elements that are in B but not in A. B = {r, s, t} and r and s also belong to A, so only t remains in B − A. Option {r, s} is incorrect because r and s are common to A and B; {p, q} are only in A; the full set is incorrect because difference is not the union. Exam tip: for B − A, test each element of B for membership in A — include it only if it is not in A.
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What region does (\(A\cap B\)^c) represent in a Venn diagram?
A. \(A\cap B\) को छोड़कर (U) का बाकी भागAll of (U) except \(A\cap B\)
(\(A\cap B\)^c) का अर्थ साझा भाग का पूरक है। इसलिए (U) में साझा भाग को छोड़कर सब शामिल होगा। / (\(A\cap B\)^c) means the complement of the common part. So it includes everything in (U) except the common part.
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According to De Morgan's law, what is (\(A\cup B\)^c) equal to?
A. \(A^c\cap B^c\)
संघ के पूरक में दोनों से बाहर का भाग आता है, इसलिए (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c)। वेन आरेख से यह नियम आसानी से दिखता है। / The complement of a union is the region outside both sets, so (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c). This rule is easy to see from a Venn diagram.
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According to De Morgan's law, what is (\(A\cap B\)^c) equal to?
A. \(A^c\cup B^c\)
साझा भाग के बाहर का क्षेत्र \(A^c\cup B^c\) होता है। पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / The region outside the common part is \(A^c\cup B^c\). While taking complements, union and intersection interchange.
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If \(n(U)=120\), \(n(A)=65\), \(n(B)=58\), and \(n(A\cap B)=29\), what is \(n(A^c\cap B^c)\)?
A. 26
ध्यान दें कि \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\) (De Morgan का नियम)। पहले \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\) निकालें। पूर्ण सार्वभौमिक समुच्चय में से यह भाग बाहर है, इसलिए \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\)। नजदीकी छलावा: 94 को चुनना गलती से यूनियन की संख्या को ही उत्तर मान लेने से आता है; 29 केवल \(A\cap B\) का मान है। परीक्षा टिप: पहले यूनियन का मान निकालें फिर उसे सार्वभौमिक सेट से घटाएँ। / Use De Morgan: \(A^c\cap B^c=(A\cup B)^c\). Compute \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=65+58-29=94\). Then \(n(A^c\cap B^c)=n(U)-n(A\cup B)=120-94=26\). Closest distractor 94 is the size of \(A\cup B\), not of the complement; 29 is just \(n(A\cap B)\). Exam tip: find the union first, then subtract from \(n(U)\).
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If (n(U)=75) and (n\(A\cap B\)=18), what is (n(\(A\cap B\)^c))?
A. (57)
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (75-18=57)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (75-18=57). Here the complement of only the common part is asked.
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A. 38
केवल एक विषय = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38। यह सिद्धांत वेंन आरेख और समावेशन–अपवाद (inclusion–exclusion) से आता है। विकल्प 58 गलत है क्योंकि यह n(A∪B)=36+42−20=58 है — यानी कम से कम एक विषय चुनने वाले छात्र; विकल्प 20 वे छात्र हैं जिन्होंने दोनों विषय चुने; 78 बस दोनों समूहों का कुल योग है जिसमें ओवरलैप को दो बार गिन लिया गया। परीक्षा टिप: वेंन आरेख बनाकर बीच में 20 रखें, किनारों से घटा कर केवल एक वाले हिस्से निकाले। / Exactly one = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38. This follows from a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea: n(exactly one)=n(A)+n(B)−2n(A∩B). Option 58 is incorrect because it equals n(A∪B)=36+42−20=58 (students who chose at least one subject). Option 20 counts those who chose both; 78 is simply 36+42, double-counting the overlap. Exam tip: draw a Venn diagram, place 20 in the intersection and subtract it from each circle to get the only-one counts.
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A. (16)
कम से कम एक (31+29-11=49) है, इसलिए कोई नहीं (65-49=16)। सर्वे प्रश्नों में पहले संघ निकालना उपयोगी है। / At least one is (31+29-11=49), so neither is (65-49=16). In survey questions, finding the union first is useful.
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(n\(A\cup B\)=72), (n(A)=46), and (n(B-A)=26). What is (n\(A\cap B\))?
A. (0)
\(A\cup B\) में पूरा (A) और (B-A) शामिल है, इसलिए (46+26=72)। अतः साझा भाग पहले से (A) में है और अतिरिक्त मान (0) निकलता है। / \(A\cup B\) contains all of (A) and (B-A), so (46+26=72). Thus the common part is already inside (A), and the extra value is (0).
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A. (60)
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+12+22+8=60)। वेन आरेख में कोई क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+12+22+8=60). In a Venn diagram, no region should be missed.
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If (n(U)=55), (n(A-B)=14), (n\(A\cap B\)=9), and (n(B-A)=17), what is the outside region?
A. (15)
संघ (14+9+17=40) है, इसलिए बाहर (55-40=15)। बाहर का क्षेत्र संघ का पूरक होता है। / The union is (14+9+17=40), so outside is (55-40=15). The outside region is the complement of the union.
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A. 23
ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्त्वों के लिये प्रत्येक जोड़ी के केवल-जोड़ी वाले हिस्से (pair-only region) निकालें। उदाहरणतः A और B में केवल वही तत्त्व होंगे जो A∩B में हैं पर तीनों में नहीं हैं, यानी \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\)। इसी तरह B और C के लिये \(13-4=9\) और C तथा A के लिये \(10-4=6\)। इन्हें जोड़ने पर कुल \(8+9+6=23\) मिलता है, इसलिए उत्तर 23 है। निकटतम भ्रांत उत्तर 31 इसलिए गलत है क्योंकि वह समहित जोड़ीगण के योग \(35\) में से केवल एक बार त्रि-आवरण भाग \(4\) घटा देता है (\(35-4=31\)) जबकि त्रि-आवरण को हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: पहले तीनों में आने वाले (केन्द्र) को लिखें और फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए (जोड़ी का इंटरसेक्शन) − (त्रि-आवरण) निकालें ताकि डबल-काउंटिंग न हो। / Count the elements that lie in exactly two sets by computing each pair-only region: for A∩B only compute \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\); for B∩C only \(13-4=9\); for C∩A only \(10-4=6\). Summing gives \(8+9+6=23\). The common wrong answer 31 arises from subtracting the triple-overlap only once from the total pairwise sum \(12+13+10=35\), i.e. \(35-4=31\), which is incorrect because the triple-overlap is included in each pair and must be removed from each pair separately. Exam tip: mark the central (three-way) region first, then compute each pair-only region as (pair intersection) − (central) to avoid double-counting.
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A. (10)
संघ (25+22+19-7-6-5+2=50) है, इसलिए कोई नहीं (60-50=10)। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ें। / The union is (25+22+19-7-6-5+2=50), so none is (60-50=10). In three sets, add back the final common part.
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A. (51)
संघ सभी सात अंदरूनी क्षेत्रों का योग है, (11+13+9+5+4+6+3=51)। अलग-अलग क्षेत्रों को केवल एक बार जोड़ें। / The union is the sum of all seven inside regions, (11+13+9+5+4+6+3=51). Add each separate region only once.
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In a Venn diagram, the shaded region is \(A\cap B^c\). What is it equal to?
A. (A-B)
\(A\cap B^c\) का अर्थ (A) में और (B) के बाहर है, इसलिए यह (A-B) है। पूरक चिन्ह देखकर बाहर वाले भाग को पहचानें। / \(A\cap B^c\) means inside (A) and outside (B), so it is (A-B). Notice the complement sign to identify the outside part.
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