Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
केंद्रित विचार: संघ (union) उन सभी तत्वों का सेट है जो किसी भी एक या दोनों सेटों में आते हैं। पहले दोनों सेटों के तत्व लिखें: \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\)। \(x^2\le4\) के लिए पूर्णांक हल हैं \(x=-2,-1,0,1,2\), अतः \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\). इनका संघ उन सभी अद्वितीय तत्वों का होगा जो या तो A में हैं या B में — परंतु B के सभी तत्व A में हैं, अतः \(A\cup B=A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\)। सबसे नज़दीकी बहकाने वाला विकल्प B केवल \(B\) को बताता है (जो A का सचल भाग है) इसलिए गलत है; विकल्प C से \(2\) गायब है और विकल्प D में गलत रूप से \(3\) शामिल है। परीक्षात्मक सुझाव: जब सेट सीमित हों तो पहले तत्व लिखकर दोनों सेटों की तुलना करें, इससे संघ/छेद/अंतर स्पष्ट हो जाते हैं। / Core idea: the union of two sets contains every element that belongs to either set. List elements explicitly: \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\). For \(x^2\le4\) with \(x\in\mathbb{Z}\) the integer solutions are \(-2,-1,0,1,2\), so \(B=\{-2,-1,0,1,2\}\). The union \(A\cup B\) is all distinct elements from both sets; since every element of B is already in A, the union equals A: \(\{-3,-2,-1,0,1,2\}\). Closest distractor B lists only \(B\) (a proper subset), so it’s incorrect; C omits \(2\), and D incorrectly includes \(3\), which is not in A or B. Exam tip: for finite integer sets, write out elements first — it makes union/intersection operations immediate.
\(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) और \(A\cap B={c,d}\), इसलिए शेष (a,b,e,f) हैं। यह सममित अंतर जैसा पैटर्न है। / \(A\cup B={a,b,c,d,e,f}\) and \(A\cap B={c,d}\), so the remaining elements are (a,b,e,f). This is a symmetric-difference type pattern.
कोई भी समुच्चय उसके तीन असंबद्ध भागों से बनता है: \(A\setminus B\) (A में मगर B में नहीं), \(A\cap B\) (दोनों में सामान्य) और \(B\setminus A\) (B में मगर A में नहीं)। इसलिए \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)=\{1,7\}\cup\{3,5\}=\{1,3,5,7\}\). विकल्प B गलत है क्योंकि वह B के अलग भाग \(B\setminus A\) को शामिल करता है। विकल्प C में अनावश्यक तत्व \(2,9\) हैं (ये केवल B में हैं) और विकल्प D केवल सामान्य भाग है, A के बने हुए सभी भाग नहीं दिखाता। परीक्षा सुझाव: वेंन आरेख में सेट को तीन असंबद्ध हिस्सों में बाँटकर तुरंत पहचानें कि कौन से हिस्से A में आते हैं। / A set can be partitioned into three disjoint regions: \(A\setminus B\) (in A not in B), \(A\cap B\) (common), and \(B\setminus A\) (in B not in A). Thus \(A=(A\setminus B)\cup(A\cap B)=\{1,7\}\cup\{3,5\}=\{1,3,5,7\}\). Option B is incorrect because it uses elements from \(B\setminus A\) which belong to B, not A. Option C wrongly includes \(2,9\) (elements only in B), and option D shows only the intersection, missing the elements of \(A\setminus B\). Exam tip: draw a Venn diagram and add the given regions — then read off A as the union of its two regions.
\(B\setminus A\) में (B) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({6,7})। अंतर में क्रम बदलने से उत्तर बदलता है। / \(B\setminus A\) contains elements of (B) that are not in (A), namely ({6,7}). In difference, changing order changes the answer.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए संघ लेने पर (A) नहीं बदलता। पहचान नियम \(A\cup \emptyset=A\) याद रखें। / The empty set has no element, so union with it does not change (A). Remember the identity law \(A\cup \emptyset=A\).
प्रतिच्छेद \(A\cap B\) में केवल वे अवयव होते हैं जो दोनों समुच्चयों में समान हों। रिक्त समुच्चय \(\emptyset\) में कोई अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\) और \(\emptyset\) का कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है। अतः \(A\cap\emptyset=\emptyset\)। \(\{0\}\) रिक्त समुच्चय नहीं है; इसमें 0 एक अवयव है। परीक्षा टिप: किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ प्रतिच्छेद हमेशा \(\emptyset\) होता है। / An intersection \(A\cap B\) contains only elements common to both sets. Since the empty set \(\emptyset\) has no elements, it has no element in common with \(A\). Hence, \(A\cap\emptyset=\emptyset\). Note that \(\{0\}\) is not empty; it contains the element 0. Exam tip: The intersection of any set with the empty set is always \(\emptyset\).
संघ के कार्डिनैलिटी के लिए सूत्र \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) लागू करें। यहाँ \(18+12-5=25\) आता है, इसलिए उत्तर 25 है। विकल्प B (30) तब गलत होगा जब आप प्रतिच्छेदन को न घटाकर दोनों सेटों के साझा तत्वों को दो बार गिन लें — यही सामान्य गलती है। परीक्षा सुझाव: संयुक्त सेट की संख्या निकालते समय हमेशा साझा (intersection) की संख्या घटाएँ ताकि दोहरा गणना से बचा जा सके। / Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substituting gives \(18+12-5=25\), so the correct value is 25. Option B (30) would be the result of adding 18 and 12 without subtracting the intersection — a common mistake of double counting. Exam tip: when finding \(n(A\cup B)\), always subtract \(n(A\cap B)\) to avoid counting shared elements twice.
यह (n\(A\cup B\)) का प्रश्न है, इसलिए (28+22-10=40)। दोनों पढ़ने वालों को दो बार न गिनें। / This is a question of (n\(A\cup B\)), so (28+22-10=40). Do not count students studying both twice.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=35+27-50=12)। संघ ज्ञात हो तो सामान्य भाग घटाकर नहीं बल्कि सूत्र से निकालें। / By the formula, (n\(A\cap B\)=35+27-50=12). When union is given, find the common part using the formula.
सेट \(A\) को दो असंश्लेष भागों में बाँटा जा सकता है: \(A\setminus B\) और \(A\cap B\)। इसलिए तरह-तरह की गणनाएँ जोड़कर मिलती हैं: \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\)। दी गई संख्याएँ रखकर \(n(A\cap B)=20-13=7\) मिलता है। विकल्प 13 गलत है क्योंकि वह \(A\setminus B\) की संख्या है, विकल्प 20 गलत है क्योंकि वह पूरे \(A\) की संख्या है, और 33 असंभव है क्योंकि वह \(A\) की कुल संख्या से अधिक है। परीक्षा टिप: तेज़ी से परिणाम पाने के लिए छोटे Venn आरेख बनाकर यह सुनिश्चित करें कि आप असंश्लेष भागों को जोड़ रहे हैं। / Set \(A\) splits into two disjoint parts: \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence their cardinalities add: \(n(A)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)\). Using the given values, \(n(A\cap B)=20-13=7\). Option 13 is just the size of \(A\setminus B\), option 20 is the total size of \(A\), and 33 is impossible as it exceeds \(n(A)\). Exam tip: Draw a small Venn diagram and use the disjoint partition of \(A\) to avoid sign or subtraction mistakes.
