Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दोनों तरफ से उपसमुच्चय होने का अर्थ है दोनों में समान अवयव हैं। समानता सिद्ध करने का यह मानक तरीका है। / Being subsets of each other means both have the same elements. This is the standard method to prove equality.
A. \(A\subseteq B\) पर \(A\neq B\)/\(A\subseteq B\) but \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
A के सभी तत्व (2, 3, 5) B में मौजूद हैं, इसलिए A ⊆ B सत्य है। परन्तु B में अतिरिक्त तत्व 7 भी है, इसलिए A और B बराबर नहीं हैं (A ≠ B)। इसीलिए A एक उचित उपसमुच्चय (proper subset) है। विकल्प B गलत है क्योंकि बराबर होने के लिए दोनों में एक जैसे सभी तत्व होने चाहिए; यहाँ 7 केवल B में है। विकल्प C गलत है क्योंकि B में ऐसा तत्व (7) है जो A में नहीं है, अतः B ⊄ A। विकल्प D गलत है क्योंकि 7 A का सदस्य नहीं है। परीक्षा टिप: यदि एक समुच्चय का हर तत्व दूसरे में है परन्तु दूसरा समुच्चय अतिरिक्त तत्व रखता है, तो पहला समुच्चय उचित उपसमुच्चय होता है और आप इसे A ⊂ B या A ⊆ B और A ≠ B से व्यक्त कर सकते हैं। / Every element of A (2, 3, 5) is contained in B, so A ⊆ B holds. However B has an extra element 7, so A ≠ B; therefore A is a proper subset of B. Option B is wrong because equality requires exactly the same elements in both sets; here 7 is only in B. Option C is incorrect because B contains 7 which is not in A, so B ⊄ A. Option D is false because 7 ∉ A. Exam tip: check whether any element of one set is missing in the other—if all of A are in B but the converse is false, A is a proper subset of B (write A ⊂ B or A ⊆ B with A ≠ B).
किसी भी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। समुच्चय \(\{1,2\}\) के लिए \(n=2\), अतः \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे: शून्य-समुच्चय \(\varnothing\), दोनों एकल-तत्व वाले उपसमुच्चय \(\{1\}\) और \(\{2\}\), तथा पूरा समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B खाली समुच्चय और पूरा समुच्चय छोड़ देता है; विकल्प C केवल शून्य और पूरा समुच्चय देता है; विकल्प D में अवैध तत्व \(3\) है जो मूल समुच्चय में नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चयों की गिनती के लिए हमेशा \(2^n\) याद रखें और \(\varnothing\) तथा मूल समुच्चय दोनों को सम्मिलित करें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). For \(\{1,2\}\), \(n=2\) so there are \(2^2=4\) subsets: the empty set \(\varnothing\), the singletons \(\{1\}\) and \(\{2\}\), and the whole set \(\{1,2\}\). Option A lists all four, so it is correct. Option B omits \(\varnothing\) and \(\{1,2\}\); option C lists only the empty and whole sets; option D wrongly includes element 3 which is not in the original set. Exam tip: use \(2^n\) to check how many subsets you must list and always include \(\varnothing\) and the set itself.
({3}) पूरा एक अवयव है जबकि (3) अलग से अवयव नहीं है। अवयव और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / ({3}) is one whole element while (3) is not separately listed. Keep element and subset different.
(1) और ({3}) दोनों (A) के अवयव हैं। (3) स्वयं (A) में नहीं है इसलिए उससे बने विकल्प गलत हो सकते हैं। / Both (1) and ({3}) are elements of (A). Since (3) itself is not in (A), options using it may be false.
किसी समुच्चय के उपसमुच्च्यों की संख्या सामान्यतः \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। रिक्त समुच्चय में तत्वों की संख्या \(0\) है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^0=1\)। इसलिए रिक्त समुच्चय का केवल एक उपसमुच्चय होता है—ख़ुद रिक्त समुच्चय। विकल्प C (2) भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि \(2\) तब मिलता है जब समुच्चय में एक तत्व हो (\(2^1=2\))। विकल्प A (0) और D (अनंत) गलत हैं क्योंकि किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या शून्य नहीं हो सकती और रिक्त समुच्चय के लिए अनंत भी नहीं होता। परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की गिनती के लिए सीधे सूत्र \(2^n\) याद रखें और \(n\) के स्थान पर समुच्चय के तत्वों की संख्या रखें। / The number of subsets of a set with \(n\) elements is \(2^n\). For the empty set \(A\), we have \(n=0\), so the count is \(2^0=1\). Thus the empty set has exactly one subset — itself. Option C (2) is a common mistake: \(2\) would be correct only if the set had one element (\(2^1=2\)). Option A (0) and D (Infinite) are incorrect because a set always has at least one subset (the empty set) and the empty set does not have infinitely many subsets. Exam tip: Apply the formula \(2^n\) each time; first find the number of elements \(n\), then compute \(2^n\).
समाधान: समीकरण x-2 = 4 के वास्तविक हल x = 2 और x = −2 हैं, अतः A = {−2, 2}। दिया हुआ B भी {-2, 2} है, इसलिए A और B के सदस्य एकदम समान हैं और A = B सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प B (A ⊂ B, A ≠ B) इसलिए गलत है क्योंकि A का कोई अतिरिक्त तत्व B में नहीं है — यह एक proper subset नहीं बल्कि समान समूह है। विकल्प D \(A = \{2\}\) गलत है क्योंकि इसमें −2 गायब है। परीक्षा-सुझाव: समीकऱणों में द्विघात (even power) होने पर दोनों ± चिह्नों के हल लेना न भूलें। / Explanation: The real solutions of x-2 = 4 are x = 2 and x = −2, so A = {−2, 2}. Since B is exactly {-2, 2}, the two sets are equal and A = B is correct. The closest distractor (A ⊂ B, A ≠ B) is wrong because there is no extra element in B — the sets coincide, not a proper subset. Option D is incorrect because it omits −2. Exam tip: For even powers check both + and − roots when solving equations like x-2 = a.
शब्द के अलग अलग अक्षर समुच्चय के अवयव बनते हैं। पूरा शब्द और अक्षरों का समुच्चय अलग होते हैं। / The distinct letters of the word become elements of the set. The whole word and the set of letters are different.
A. क्योंकि (B) का हर अवयव (A) में है/Because every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय में छोटे समुच्चय का हर अवयव बड़े समुच्चय में होना चाहिए। दिशा बदलने से कथन बदल जाता है। / For a subset, every element of the smaller set must lie in the larger set. Reversing the direction changes the statement.
A. \(1\in A\) और \(\{1\}\subseteq A\)/\(1\in A\) and \(\{1\}\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
विकल्प A सही है क्योंकि 1 एक अवयव है — इसे लिखते हैं \(1\in A\)। वहीँ \(\{1\}\) एक समुच्चय (singleton) है और वह A का उपसमुच्चय है, इसलिए \(\{1\}\subseteq A\)। विकल्प B में प्रतीकों का उल्टा उपयोग है: \(1\subseteq A\) गलत है क्योंकि 1 एक संख्या (तत्त्व) है, समुच्चय नहीं; और \(\{1\}\in A\) भी गलत है क्योंकि \(\{1\}\) A का अवयव नहीं बल्कि उपसमुच्चय है। C गलत है क्योंकि \(\{1\}\neq A\) (A में 2 और 3 भी हैं)। D गलत है क्योंकि 4 A में नहीं है, अतः \(\{1,4\}\) A का उपसमुच्चय नहीं बन सकता। परीक्षा-सुझाव: हमेशा \(\in\) (element of) और \(\subseteq\) (subset of) में फर्क पहचानें — एकल संख्या और singleton set अलग चीजें हैं। / Option A is correct because 1 is an element of A, written \(1\in A\), and \(\{1\}\) (the singleton set containing 1) is a subset of A, so \(\{1\}\subseteq A\). Option B incorrectly swaps the relations: \(1\subseteq A\) is meaningless here since 1 is not a set, and \(\{1\}\in A\) is false because the singleton is not an element of A. Option C is false because \(\{1\}\neq A\) (A also contains 2 and 3). Option D is false because 4 is not in A, so \(\{1,4\}\) cannot be a subset of A. Exam tip: clearly distinguish between an element (\(\in\)) and a subset (\(\subseteq\)); treat singletons as sets, not as plain numbers.
