Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A में वे सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 6 से छोटी हैं; ये तत्व हैं 1, 3 और 5। B भी \{1,3,5\} है। इसलिए दोनों सेट के तत्व समान हैं और \(A = B\) सत्य है. विकल्प (B) \(A \subset B\) तभी गलत माना जाता है अगर \(\subset\) को 'proper subset' (सख्त उपसमुह) के रूप में लिया जाए — यहाँ वह सत्य नहीं है क्योंकि A और B बराबर हैं। विकल्प (C) भी उसी कारण से गलत है और (D) स्पष्ट रूप से गलत है क्योंकि सेटों के बीच समानताएँ हैं। परीक्षा सुझाव: सेट के तत्व लिखकर मिलान करें; बराबरी दिखाने के लिए दोनों में मौजूद हर तत्व और उनकी संख्या जाँचें। / A consists of odd natural numbers less than 6, i.e. {1, 3, 5}. B is {1, 3, 5} as well. Hence the two sets have identical elements and \(A = B\) is true. Option (B) \(A \subset B\) would only be incorrect here if \(\subset\) is intended as a proper subset symbol — in that reading it is false because A and B are equal. Option (C) is false for the same reason; (D) is clearly wrong since the sets are related (identical). Exam tip: List elements explicitly and compare; equality of sets means exactly the same elements, order and repetition don't matter.
दो सेट तब बराबर होते हैं जब उनके सभी तत्व समान हों। शर्त \(x\) सम प्राकृतिक संख्या और \(x<10\) होने पर उपलब्ध तत्व हैं \(2,4,6,8\)। अतः \(B=\{2,4,6,8\}=A\), इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे सही‑subset (proper subset) का दावा करते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं, न कि एक दूसरे का proper subset; विकल्प D गलत है क्योंकि \(10<10\) सत्य नहीं है इसलिए 10 सेट \(A\) का सदस्य नहीं है। परीक्षा‑टिप: सेट‑बिल्डर का अर्थ निकालकर पहले तत्वों की सूची बनाइए और "<" व "\le" का ध्यान रखिए। / Two sets are equal when they contain exactly the same elements. The even natural numbers satisfying \(x<10\) are \(2,4,6,8\), so \(B=\{2,4,6,8\}=A\). Therefore \(A=B\) is correct. Options B and C are incorrect because they assert a proper subset relation even though the sets have identical elements; option D is false because 10 does not satisfy \(x<10\). Exam tip: convert set‑builder notation to an explicit list of elements to compare sets, and watch the difference between "<" and "\le".
A. जब उनके सभी अवयव समान हों/When all their elements are the same
Explanation
Simple Explanation
समान समुच्चय में प्रत्येक अवयव दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। केवल नाम या क्रम से समानता तय नहीं होती। / Equal sets must have every element in both sets. Names or order alone do not decide equality.
A. \(A\subset B\) में (A) का हर अवयव (B) में है और \(A\neq B\)/In \(A\subset B\), every element of (A) is in (B) and \(A\neq B\)
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय बराबर नहीं होता और सभी अवयव बड़े समुच्चय में होते हैं। चिन्ह \(\subset\) का अर्थ \(\subseteq\) से अलग समझें। / A proper subset is not equal and all its elements lie in the larger set. Understand that \(\subset\) is different from \(\subseteq\).
D. इनमें से कोई भी उपसमुच्चय संबंध सत्य नहीं/None of these subset relations is true
Explanation
Simple Explanation
(A) में (1,2) हैं जो (B) में नहीं और (B) में (5) है जो (A) में नहीं। साझा अवयव होना उपसमुच्चय होने के लिए काफी नहीं है। / (A) has (1,2) not in (B) and (B) has (5) not in (A). Having common elements is not enough for a subset relation.
A के 6-तत्त्व वाले उपसमुच्चयों की गिनती उस तरीके पर निर्भर करती है जिससे हम 7 तत्वों में से 6 चुनते हैं। यह संयोजन की संख्या है: \(\binom{7}{6}=7\)। सीधे विचार करने का आसान तरीका यह है कि 6-तत्त्व वाला उपसमुच्चय बनाने के लिए आप 7 में से किसी एक तत्व को बाहर छोड़ते हैं — इसलिए 7 विकल्प। विकल्प (D) 21 उस गलती से आता है जहाँ कोई \(\binom{7}{2}\) या \(\binom{7}{5}\) समझ लेता है (2-तत्त्व या 5-तत्त्व उपसमुच्चयों की संख्या) — इसलिए वह गलत है. परखा जाने योग्य टिप: कभी-कभी बाहर रखने वाले तत्वों की गिनती निकालना तेज़ होता है; याद रखें \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)। / Count how many ways to choose 6 elements from 7: this is a combination \(\binom{7}{6}=7\). Equivalently, each 6-element subset is determined by which single element is omitted, so there are 7 choices. Option D (21) is incorrect — 21 equals \(\binom{7}{2}=\binom{7}{5}\), the number of 2- or 5-element subsets, not 6-element subsets. Exam tip: use \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) or count the elements you omit when k is close to n to simplify calculations.
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
