Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर (|x|+2) की न्यूनतम वैल्यू (2) है और यह अनंत तक बढ़ सकता है। इसलिए आउटपुट (0) से बड़ा और \(\frac{1}{2}\) तक है। / The denominator (|x|+2) has minimum value (2) and can grow without bound. So the output is greater than (0) and up to \(\frac{1}{2}\).
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x-2\ge 0\) चाहिए, इसलिए सभी वास्तविक (x) नहीं चलेंगे। परीक्षा में वर्गमूल वाले विकल्प पर domain restriction जांचें। / \(\sqrt{x-2}\) needs \(x-2\ge 0\), so all real (x) are not allowed. In exams check the domain restriction in square root options.
\(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (2) आउटपुट नहीं बनता। परीक्षा में reciprocal के vertical shift को पहचानें। / \(\frac{1}{x}\) is never (0), so the output cannot be (2). In exams identify the vertical shift of a reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([3,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([3,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+9\ge 9\), इसलिए वर्गमूल कम से कम (3) है और डोमेन सभी वास्तविक है। परीक्षा में अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+9\ge 9\), the square root is at least (3) and the domain is all real numbers. In exams check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-1,1}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-1\) तब (0) होता है जब \(x=\pm 1\)। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / The denominator \(x^2-1\) becomes (0) when \(x=\pm 1\). In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\sqrt{x+2}=3\) से (x+2=9) और (x=7) मिलता है। परीक्षा में वर्ग करने के बाद domain condition भी सही रखें। / \(\sqrt{x+2}=3\) gives (x+2=9) and (x=7). In exams keep the domain condition valid after squaring.
\(f(x)=6\) रखने पर \(|x-4|=6\) मिलता है। मापांक समीकरण से दो स्थितियाँ बनती हैं: \(x-4=6\), जिससे \(x=10\), और \(x-4=-6\), जिससे \(x=-2\)। इसलिए सही समुच्चय \(\{-2,10\}\) है। विकल्प B में \(2\) रखने पर \(|2-4|=2\), 6 नहीं, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(|A|=k\) में, जहाँ \(k>0\), हमेशा \(A=k\) या \(A=-k\) दोनों हल जाँचें। / Substituting \(f(x)=6\) gives \(|x-4|=6\). A modulus equation has two cases: \(x-4=6\), giving \(x=10\), and \(x-4=-6\), giving \(x=-2\). Hence the correct set is \(\{-2,10\}\). In option B, \(x=2\) gives \(|2-4|=2\), not 6. Exam tip: for \(|A|=k\) with \(k>0\), always solve both \(A=k\) and \(A=-k\).
वर्गमूल के लिए \(3-x\geq0\), अतः \(x\leq3\) होना चाहिए। साथ ही हर \(x-1\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=1\) हटेगा। परीक्षा में मूल और हर की शर्तें अलग-अलग जाँचें। / For the square root, \(3-x\geq0\), so \(x\leq3\). Also, the denominator cannot be zero, so \(x=1\) is excluded. In exams, check radical and denominator restrictions separately.
दिए गए फलन में \(x=4\) रखने पर \(f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए परिभाषा-क्षेत्र में \(x\neq1\) होना चाहिए; \(x=4\) मान्य है। परीक्षा-युक्ति: परिमेय फलन में पहले हर को शून्य न होने की जाँच करें, फिर मान रखें। / Substituting \(x=4\) in the given function gives \(f(4)=\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2\). Therefore, option A is correct. The denominator is \(x-1\), so the domain excludes \(x=1\); \(x=4\) is valid. Exam tip: in a rational function, first check that the denominator is non-zero, then substitute the given value.
वर्गमूल के भीतर \(x-2\) ऋणात्मक नहीं हो सकता और हर \(\sqrt{x-2}\) शून्य भी नहीं हो सकता। अतः \(x-2>0\), इसलिए \(x>2\)। विकल्प B में \(x=2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: हर वाले वर्गमूल के लिए असमता कठोर होती है। / The radicand \(x-2\) must be non-negative, but the denominator \(\sqrt{x-2}\) cannot be zero. Hence \(x-2>0\), so \(x>2\). Option B wrongly includes \(x=2\), where the denominator is zero. Exam tip: a square root in a denominator requires a strict inequality.
