Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), और पूर्णांकों में ऋण तथा योग बंद रहते हैं। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Z}\), and integers are closed under negatives and addition. Hence the relation is reflexive, symmetric and transitive.
A. यह एक समतुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
प्रतिवर्तिता के लिए प्रत्येक वास्तविक a के लिए a² = a² सत्य है, इसलिए aRa। यदि aRb, तो a² = b² से b² = a², अतः bRa; इसलिए संबंध सममित है। यदि aRb और bRc, तो a² = b² तथा b² = c², इसलिए a² = c² और aRc; अतः संबंध संक्रामक भी है। इसलिए R एक समतुल्यता संबंध है। ध्यान रखें कि a² = b² का अर्थ a = b या a = −b हो सकता है, लेकिन इससे समतुल्यता के गुण प्रभावित नहीं होते। / For reflexivity, a² = a² holds for every real number a, so aRa. If aRb, then a² = b², which implies b² = a²; hence bRa, so the relation is symmetric. If aRb and bRc, then a² = b² and b² = c², giving a² = c²; therefore aRc, so the relation is transitive as well. Thus, R is an equivalence relation. Remember that a² = b² means a = b or a = −b, but this does not invalidate any equivalence property.
A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी/Irreflexive and transitive
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(x-y>0\) का अर्थ \(x>y\) है। किसी भी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए \(x-x=0\) होता है, और \(0>0\) असत्य है; अतः \(R\) अप्रतिवर्ती है। यदि \(x>y\) और \(y>z\), तो \(x>z\), इसलिए यह संक्रामी भी है। यह सममित नहीं है, क्योंकि \(x>y\) से सामान्यतः \(y>x\) नहीं होता; इसलिए इसे समतुल्यता संबंध भी नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: ‘>’ और ‘<’ जैसे strict inequalities वाले संबंध प्रायः अप्रतिवर्ती और संक्रामी होते हैं। / Here, \(x-y>0\) means \(x>y\). For every \(x\in\mathbb{R}\), \(x-x=0\), and \(0>0\) is false; hence, \(R\) is irreflexive. If \(x>y\) and \(y>z\), then \(x>z\), so the relation is also transitive. It is not symmetric because \(x>y\) does not generally imply \(y>x\); therefore, it is not an equivalence relation. Exam tip: Relations defined by strict inequalities such as ‘>’ or ‘<’ are generally irreflexive and transitive.
A. सममित, लेकिन प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Explanation
Simple Explanation
किसी भी \(a,b\in A\) के लिए \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) होता है, इसलिए \(R\) सममित है। लेकिन प्रतिवर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \(\gcd(2,2)=2\neq1\), अतः \((2,2)\notin R\) और संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और D प्रतिवर्तिता के अभाव में गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd\)-आधारित संबंधों में सममिति जाँचने के लिए क्रम बदलकर \(\gcd\) देखें, जबकि प्रतिवर्तिता के लिए \(\gcd(a,a)\) जाँचें। / For any \(a,b\in A\), \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), so the relation is symmetric. However, reflexivity requires \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Since \(\gcd(2,2)=2\neq1\), we have \((2,2)\notin R\), so the relation is not reflexive. Therefore, option A is correct. Options B and D are false because reflexivity fails. Exam tip: For a gcd-based relation, test symmetry by interchanging the two elements and test reflexivity using \(\gcd(a,a)\).
हर वास्तविक संख्या a के लिए |a| = |a|, इसलिए R प्रतिवर्ती है। यदि |a| = |b|, तो |b| = |a|, इसलिए यह सममित है। साथ ही |a| = |b| और |b| = |c| से |a| = |c|, इसलिए यह संक्रामी भी है। अतः R समतुल्यता संबंध है। परीक्षा-युक्ति: किसी संबंध को समतुल्यता संबंध कहने के लिए प्रतिवर्तिता, सममिति और संक्रामिता—तीनों जाँचें। / For every real number a, |a| = |a|, so R is reflexive. If |a| = |b|, then |b| = |a|, so it is symmetric. Further, |a| = |b| and |b| = |c| imply |a| = |c|, so it is transitive as well. Therefore, R is an equivalence relation. Exam tip: To identify an equivalence relation, verify all three properties—reflexivity, symmetry, and transitivity.
A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी/Reflexive, antisymmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(a-b\geq0\) का अर्थ \(a\geq b\) है। यह क्रम संबंध प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी होता है। / The condition \(a-b\geq0\) means \(a\geq b\). This order relation is reflexive, antisymmetric and transitive.
शर्त \(a+b=6\) के लिए \(A\) में क्रमित युग्म हैं: \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)। अतः कुल 5 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 4 में सामान्यतः \((3,3)\) छूट जाता है, जबकि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म मिलता है। परीक्षा टिप: हर \(a\in A\) के लिए \(b=6-a\) निकालकर जाँच करें कि \(b\) भी \(A\) में है। / For the condition \(a+b=6\), the ordered pairs in \(A\times A\) are \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\). Hence, \(R\) contains 5 ordered pairs. The distractor 4 may result from overlooking \((3,3)\); also, reversing the entries gives a different ordered pair unless both entries are equal. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=6-a\) and retain the pair only when \(b\in A\).
