Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले विकल्प में (3) और (6) दोनों ठीक एक बार प्रथम अवयव हैं। यही फलन की आवश्यक शर्त है। / In the first option, (3) and (6) each appear exactly once as first components. This is the necessary condition for a function.
दिए गए फलन में \(x=3\) रखने पर \(f(3)=3^2-1=9-1=8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। विकल्प C में केवल \(3^2\) निकाला गया है और 1 घटाया नहीं गया। परीक्षा में पहले मान रखने के बाद घात निकालें, फिर जोड़ या घटाव करें। / Substituting \(x=3\) into the function gives \(f(3)=3^2-1=9-1=8\). Therefore, option A is correct. Option C is only \(3^2\) and does not subtract 1. In such questions, substitute the value first, evaluate the power, and then perform addition or subtraction.
फलन \(g(x)=\frac{x}{2}\) में \(x=8\) रखने पर \(g(8)=\frac{8}{2}=4\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में भाग देने के बजाय 8 को 그대로 रखा गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः गलत गणना से प्राप्त होते हैं। परीक्षा-युक्ति: फलन का मान निकालने के लिए दिए गए \(x\) को नियम में सीधे प्रतिस्थापित करें। / Substituting \(x=8\) into the rule \(g(x)=\frac{x}{2}\) gives \(g(8)=\frac{8}{2}=4\). Therefore, option A is correct. Option B leaves 8 unchanged instead of dividing by 2, while options C and D result from incorrect calculations. Exam tip: To evaluate a function, substitute the given input directly into its rule.
कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=2^3=8\) होती है। आधार सहप्रांत के तत्वों की संख्या होती है। / The number of functions is \(|B|^{|A|}=2^3=8\). The base is the number of elements in the codomain.
A से B में प्रत्येक फलन के लिए A के प्रत्येक अवयव की छवि B के 4 अवयवों में से किसी एक को चुना जा सकता है। इसलिए 2 अवयवों के लिए कुल फलनों की संख्या \(|B|^{|A|}=4^2=16\) होगी। विकल्प \(2^2\) में B के 4 विकल्पों को अनदेखा किया गया है। परीक्षा-युक्ति: A से B में फलनों की संख्या हमेशा \(|B|^{|A|}\) होती है। / For a function from A to B, each of the 2 elements of A can be mapped to any of the 4 elements of B. Hence, the total number of functions is \(|B|^{|A|}=4^2=16\). The expression \(2^2\) incorrectly ignores the 4 available choices in B. Exam tip: For functions from A to B, use \(|B|^{|A|}\), with the codomain size as the base and the domain size as the exponent.
A. हर \(x\in A\) के लिए \(f(x)\in B\) होता है/For every \(x\in A\), \(f(x)\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\(f:A\to B\) में इनपुट (A) से और आउटपुट (B) में होता है। संकेत पढ़ना परीक्षा में बहुत जरूरी है। / In \(f:A\to B\), the input comes from (A) and the output lies in (B). Reading the notation is very important in exams.
A. क्योंकि हर \(x\in A\) का प्रतिबिंब होना चाहिए/Because every \(x\in A\) must have an image
Explanation
Simple Explanation
फलन में प्रांत का कोई तत्व छूट नहीं सकता। हर \(x\in A\) का ठीक एक प्रतिबिंब जरूरी है। / No element of the domain can be left out in a function. Every \(x\in A\) must have exactly one image.
एक ही इनपुट (p) के दो मान तभी मान्य होंगे जब वे समान हों। यहां \(5\ne7\), इसलिए सामान्यतः यह फलन नहीं है। / Two values for the same input (p) are allowed only if they are the same. Here \(5\ne7\), so generally it is not a function.
\(R=\{(1,2),(1,3)\}\) में (1) दो अलग मानों से जुड़ा है। इसलिए यह संबंध है लेकिन फलन नहीं है। / In \(R=\{(1,2),(1,3)\}\), (1) is related to two different values. So it is a relation but not a function.
तत्समक फलन प्रत्येक अवयव को उसी अवयव पर भेजता है, अर्थात् \(I_A(x)=x\)। इसलिए \(I_A(5)=5\)। विकल्प 4 समुच्चय \(A\) का अवयव तो है, लेकिन तत्समक फलन 5 को 4 में नहीं भेजता। परीक्षा-युक्ति: तत्समक फलन में इनपुट और आउटपुट सदैव समान होते हैं। / An identity function maps every element to itself, so \(I_A(x)=x\). Hence, \(I_A(5)=5\). Although 4 also belongs to the set \(A\), the identity function does not map 5 to 4. Exam tip: for an identity function, the input and output are always the same.
