Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और \(B=\{1,2,3,4,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे कितने क्रमित युग्म \((a,b)\) हैं जिनके लिए \(a+b\) सम है और \(ab\), \(3\) से विभाज्य है?
\(a+b\) के सम होने के लिए \(a\) और \(b\) की समता समान होनी चाहिए। \(ab\) के \(3\) से विभाज्य होने के लिए \(a\) या \(b\) में से कम-से-कम एक का मान \(3\) होना चाहिए, क्योंकि समुच्चय में \(3\) का एकमात्र गुणज \(3\) है। संख्या \(3\) विषम है, इसलिए दोनों संख्याएँ विषम होनी चाहिए। विषम संख्याएँ \(\{1,3,5\}\) हैं। अतः ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या \(3\times3-2\times2=9-4=5\) नहीं, बल्कि शर्त \(a=3\) या \(b=3\) लगाने पर \(3+3-1=5\) होगी। इसलिए सही उत्तर \(5\) है; दिए गए विकल्पों में यह उपलब्ध नहीं है। प्रश्न के विकल्पों में तथ्यात्मक त्रुटि है। परीक्षा-टिप: पहले समता की शर्त लगाएँ, फिर विभाज्यता की शर्त से युग्मों को छाँटें। / For \(a+b\) to be even, \(a\) and \(b\) must have the same parity. For \(ab\) to be divisible by \(3\), at least one of \(a\) or \(b\) must be \(3\), since \(3\) is the only multiple of \(3\) in the set. Because \(3\) is odd, both entries must be odd. Among the odd values \(\{1,3,5\}\), the ordered pairs with \(a=3\) or \(b=3\) number \(3+3-1=5\), where \((3,3)\) is counted only once. Thus the correct answer is \(5\), which is not present among the supplied options. The original options contain a factual error. Exam tip: apply the parity condition first, then filter the remaining ordered pairs using divisibility.
(a+b=9) वाले (4) और (ab=12) वाले (4) युग्म हैं, साझा कोई नहीं है। इसलिए कुल (8) युग्म हैं। / There are (4) pairs with (a+b=9) and (4) with (ab=12), with no overlap. Hence the total is (8).
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
यदि \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{1,2,3\}\) और \(C=\{1,2\}\) हैं, तो \(A\times B\times C\) में ऐसे कितने क्रमित त्रिक \((a,b,c)\) हैं जो \(a+b=2c+1\) को संतुष्ट करते हैं?
जब \(c=1\), तब \(a+b=3\) होना चाहिए। \(A\) और \(B\) से इसके लिए क्रमित युग्म \((1,2)\ ext{ और }(2,1)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। जब \(c=2\), तब \(a+b=5\) होना चाहिए और क्रमित युग्म \((2,3)\text{ और }(3,2)\) मिलते हैं, अर्थात 2 त्रिक। इसलिए कुल त्रिक \(2+2=4\) हैं। ध्यान दें कि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म माना जाता है। / For \(c=1\), the condition becomes \(a+b=3\). The ordered pairs from \(A\) and \(B\) are \((1,2)\) and \((2,1)\), giving 2 triples. For \(c=2\), the condition becomes \(a+b=5\), with ordered pairs \((2,3)\) and \((3,2)\), giving 2 more triples. Hence, the total number of triples is \(2+2=4\). Remember that reversing an ordered pair produces a different pair.
(a=1,2,3,4,5) के लिए योग्य (b) की गिनती (3,2,2,1,1) है, कुल (9)। विषम योग के लिए समता अलग होनी चाहिए। / For (a=1,2,3,4,5), the counts of valid (b) are (3,2,2,1,1), totaling (9). Odd sum requires opposite parity.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
(n\(A\times B\)=12) और (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) में (4) अवयव हैं। इसलिए अंतर में (12-4=8) अवयव होंगे। / (n\(A\times B\)=12), and (\(A\times B\)\cap\(C\times D\)=\(A\cap C\)\times\(B\cap D\)) has (4) elements. So the difference has (12-4=8) elements.
अशून्य समुच्चयों के लिए \(A\times B=B\times A\) तभी होता है जब (A=B)। परीक्षा में खाली समुच्चय की शर्त जरूर देखें। / For non-empty sets, \(A\times B=B\times A\) only when (A=B). In exams, always check the empty-set condition.
यहां \(A=\{-2,2\}\) और \(B=\{2,3\}\), इसलिए (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4)। परीक्षा में पहले प्रत्येक समुच्चय के अवयव निकालें। / Here \(A=\{-2,2\}\) and \(B=\{2,3\}\), so (n\(A\times B\)=2\cdot 2=4). In exams, first list each set.
