Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x_1\) और \(x_2\) की शर्तों को बदलकर गैर-ऋणात्मक चर में लिखें और \(x_3\) के लिए मामले लें। सीमा वाली शर्त में मामलों का योग करें। / Convert the restrictions on \(x_1\) and \(x_2\) into non-negative variables and take cases for \(x_3\). For bounded variables, add case counts.
कुल \(\binom{12}{4}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें (5) एकरेखीय बिंदुओं में से (3) या (4) चुने जाते हैं। चतुर्भुज के लिए कोई (3) बिंदु एकरेखीय नहीं होने चाहिए। / Subtract selections containing (3) or (4) points from the set of (5) collinear points from total \(\binom{12}{4}\). A quadrilateral cannot have any (3) collinear points.
बीच के (6) स्थानों में (0) और (5) को क्रम सहित रखें और बाकी स्थान अन्य अंकों से भरें। सिरे की शर्त पहले लागू करें। / Place (0) and (5) in the middle (6) positions with order, then fill the remaining positions with other digits. Apply end-position restrictions first.
हर दो विषयों की जोड़ी से (6) पुस्तकें चुनें और तीनों जोड़ें। यहाँ किसी एक विषय से (6) पुस्तकें लेना संभव नहीं है। / Choose (6) books from each pair of subjects and add the three results. Here, selecting all (6) from one subject is impossible.
पहले (B,N,N) को सजाएँ और बने (4) खाली स्थानों में (3) समान (A) रखें। समान अक्षरों और खाली स्थानों को ध्यान से संभालें। / First arrange (B,N,N), then place the (3) identical (A)'s in the (4) gaps formed. Handle repeated letters and gaps carefully.
(7) खिलाड़ियों में से स्वर्ण, रजत और कांस्य स्थानों के लिए क्रम चुनना है। इसके बाद बचे खिलाड़ियों में से (2) का एक बिना क्रम वाला अभ्यास-दल बनाना है। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले \(^{7}P_3\) तरीकों से स्थान चुनें और बचे (4) में से (2) खिलाड़ी चुनें। क्रमबद्ध और अक्रमबद्ध चरण अलग पहचानें। / First choose the positions in \(^{7}P_3\) ways, then choose (2) players from the remaining (4). Identify ordered and unordered stages separately.
एक पंजीकरण संख्या में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (4) अंक हैं। अक्षर (6) उपलब्ध अक्षरों से लिए जाते हैं। अंकों में ठीक एक जोड़ा समान हो और बाकी दो अंक उससे तथा आपस में अलग हों। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
अक्षरों के लिए \(6 \times 5\) तरीके हैं। अंकों में दो समान स्थान चुनें, दोहराया अंक चुनें और बाकी दो अलग अंक क्रम सहित रखें। / The letters have \(6 \times 5\) ways. For digits, choose the positions of the equal pair, choose the repeated digit, and fill the other two positions with distinct digits in order.
(5) लड़कों और (4) लड़कियों को (9) स्थानों की पंक्ति में बैठाना है। लड़कियाँ केवल विषम क्रमांक वाले स्थानों पर बैठ सकती हैं। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
पहले (5) विषम स्थानों में (4) लड़कियों को क्रम सहित रखें, फिर बाकी (5) स्थानों में लड़कों को सजाएँ। स्थान-प्रतिबंध पहले लगाएँ। / First arrange (4) girls in (5) odd positions, then arrange the boys in the remaining (5) positions. Apply position restrictions first.
पहले गैर-लगातार (4) संख्याओं के चयन पर विचार करें और फिर सम योग वाले चयन अलग करें। सम-विषम वर्गीकरण ऐसे प्रश्नों में सहायक है। / First consider non-consecutive selections of (4) numbers and then separate those with even sum. Parity classification helps in such questions.
(9) अलग पुस्तकों को (3) चिह्नित अलमारियों में रखना है। हर अलमारी में कम से कम एक पुस्तक हो और हर अलमारी में पुस्तकों का क्रम महत्वपूर्ण हो। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले (9!) तरीकों से पुस्तकों को एक पंक्ति में रखें और (8) खाली स्थानों में (2) विभाजक रखें। विभाजक विधि चिह्नित अलमारियों के लिए उपयोगी है। / First arrange the (9) books in a row and place (2) dividers in the (8) gaps. The divider method is useful for labeled shelves.
