Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि पहला अंक (7) है तो \(9^4\) तरीके हैं और यदि (7) बाकी (4) स्थानों में है तो \(4\times8\times9^3\) तरीके हैं। कुल (6561+23328=29889) नहीं, सही कुल \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\) है। / If the first digit is (7), there are \(9^4\) ways; if (7) is in one of the other (4) places, there are \(4\times8\times9^3\) ways. The total is \(9^4+4\cdot8\cdot9^3=29889\).
(6) के स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (2) स्थानों पर \(5^2\) विकल्प हैं। कुल \(\binom{4}{2}5^2=150\) है। / Choose the positions of (6) in \(\binom{4}{2}\) ways, and the remaining (2) positions have \(5^2\) choices. The total is \(\binom{4}{2}5^2=150\).
पहली पट्टी के लिए (8) विकल्प और अगली दोनों पट्टियों के लिए (7) विकल्प हैं। कुल \(8\times7\times7=392\) नहीं, क्योंकि तीसरी पट्टी दूसरी से अलग होकर पहली जैसी हो सकती है, इसलिए सही (392) है। / The first strip has (8) choices and each of the next two strips has (7) choices. The third may match the first but not the second, so the correct count is \(8\times7\times7=392\).
एक कोर्स पंजीकरण में छात्र (3) मुख्य विषयों में से (1), (4) वैकल्पिक विषयों में से (2) क्रम सहित और (2) क्लबों में से (1) चुनता है। कुल पंजीकरण कितने हैं?
मुख्य विषय के (3), क्रम सहित वैकल्पिक विषयों के \(4\times3\), और क्लब के (2) विकल्प हैं। कुल \(3\times4\times3\times2=72\) है। / There are (3) choices for the core subject, \(4\times3\) ordered choices for electives, and (2) choices for the club. The total is \(3\times4\times3\times2=72\).
पहले समान जोड़े के लिए (9) विकल्प हैं और अंतिम (4) अलग अंकों के लिए \(10\times9\times8\times7\) तरीके हैं। कुल \(9\times10\times9\times8\times7=45360\) है। / The first equal pair has (9) choices, and the last (4) distinct digits have \(10\times9\times8\times7\) ways. The total is \(9\times10\times9\times8\times7=45360\).
एक प्रश्नपत्र में (3) खंड हैं। विद्यार्थी को पहले खंड से (2) प्रश्न क्रम सहित, दूसरे से (1) प्रश्न और तीसरे से (1) प्रश्न चुनना है। खंडों में प्रश्नों की संख्या (5,6,4) है। कुल तरीके कितने हैं?
पहले खंड से दो प्रश्न क्रम सहित चुनने के तरीके \(^{5}P_{2}=5\times4=20\) हैं। दूसरे और तीसरे खंड से क्रमशः \(6\) और \(4\) विकल्प हैं। अतः गुणन सिद्धांत से कुल तरीके \(20\times6\times4=480\) होंगे। विकल्प 240 में पहले खंड के दो प्रश्नों के क्रम को अलग नहीं माना गया है। परीक्षा टिप: जब प्रश्न में “क्रम सहित” हो, तो संयोजन नहीं, क्रमचय का प्रयोग करें। / The number of ordered selections of two questions from the first section is \(^{5}P_{2}=5\times4=20\). The second and third sections provide \(6\) and \(4\) choices respectively. By the multiplication principle, the total number of ways is \(20\times6\times4=480\). Option 240 would result from not treating the order of the first two questions as distinct. Exam tip: Use permutations, not combinations, whenever order matters.
कुल \(5^5\) संकेतों से (P) या (Q) न आने वाले संकेत हटाएं। संख्या \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\) है। / Subtract signals missing (P) or missing (Q) from all \(5^5\) signals. The count is \(5^5-2\cdot4^5+3^5=1406\).
एक डिजिटल घड़ी ऐप में उपयोगकर्ता (7) फॉन्ट और (6) रंगों में से चुनता है। यदि (2) विशेष फॉन्ट केवल (3) रंगों के साथ उपलब्ध हैं और बाकी फॉन्ट सभी रंगों के साथ उपलब्ध हैं, तो कुल संयोजन कितने हैं?
विशेष फॉन्ट से \(2\times3=6\) और बाकी फॉन्ट से \(5\times6=30\) संयोजन हैं। कुल (36) है। / Special fonts give \(2\times3=6\) combinations and the remaining fonts give \(5\times6=30\). The total is (36).
अंतिम अंक (3,5,7) में से (3) तरीकों से चुनेगा। बाकी स्थानों के लिए \(5\times4\times3\) तरीके हैं, कुल (180) है। / The last digit can be chosen from (3,5,7) in (3) ways. The remaining places have \(5\times4\times3\) ways, giving (180).
पहला उत्तर असत्य तय है, इसलिए बाकी (5) में से (4) सत्य चुनने हैं। संख्या \(\binom{5}{4}=5\) है। / The first answer is fixed as false, so (4) true answers must be chosen from the remaining (5). The count is \(\binom{5}{4}=5\).
