Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ठोस सीमा रेखा का अर्थ है कि \(ax+by=c\) वाले बिंदु भी हल में शामिल हैं। छायांकित भाग में मान \(c\) से कम है, इसलिए \(ax+by\le c\) होगा। \(<\) के लिए रेखा बिंदीदार होती है। परीक्षा टिप: ठोस रेखा बराबरी दर्शाती है। / A solid boundary means points satisfying \(ax+by=c\) are included. The shaded side has smaller values, so the inequality is \(ax+by\le c\). With \(<\), the boundary would be dashed. Exam tip: a solid line indicates equality.
axes के साथ छोटा bounded region पहले चतुर्थांश में और रेखा के नीचे होता है। परीक्षा में origin test करें। / The small bounded region with axes is in the first quadrant and below the line. Use the origin test in exams.
\(3x-y\le 0\) में दोनों पक्षों में \(y\) जोड़ने पर \(3x\le y\) मिलता है, अर्थात \(y\ge 3x\)। इसलिए हल-क्षेत्र रेखा \(y=3x\) के ऊपर तथा रेखा सहित होगा। \(y\le 3x\) वाला क्षेत्र रेखा के नीचे होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(y\) को एक ओर लाते समय असमिका को केवल जोड़-घटाव से बदलने पर चिह्न नहीं पलटता। / Adding \(y\) to both sides of \(3x-y\le 0\) gives \(3x\le y\), or \(y\ge 3x\). Hence, the solution is the region on and above the line \(y=3x\), including the line. The region \(y\le 3x\) lies below the line, so it is the closest but incorrect distractor. Exam tip: Adding or subtracting the same quantity does not reverse an inequality sign.
क्षेत्र \(2\times 3\) का आयत है, इसलिए क्षेत्रफल (6) है। परीक्षा में bounded rectangle को तुरंत पहचानें। / The region is a \(2\times 3\) rectangle, so its area is (6). Recognize bounded rectangles quickly.
त्रिभुज के intercepts (4) और (4) हैं, इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\) है। परीक्षा में intercept triangle का formula याद रखें। / The intercepts are (4) and (4), so area is \(\frac{1}{2}\times 4\times 4=8\). Remember the intercept triangle formula.
A. मूल बिंदु वाली ओर/On the side containing origin
Explanation
Simple Explanation
सत्य test point जिस half-plane में होता है वही solution side होती है। परीक्षा में यह सबसे तेज graphical check है। / The half-plane containing the true test point is the solution side. This is the quickest graphical check.
मूल बिंदु पर (0) मिलता है, इसलिए origin वाली ओर \(\le 6\) है और विपरीत ओर \(\ge 6\) होगी। परीक्षा में boundary included हो तो equality वाला चिन्ह लें। / At origin the value is (0), so the origin side is \(\le 6\) and the opposite side is \(\ge 6\). Use equality signs when boundary is included.
boundary (x-2y=6) है, इससे (x=6) और (y=-3) मिलता है। परीक्षा में inequality से पहले equality line बनाएं। / The boundary is (x-2y=6), giving (x=6) and (y=-3). Draw the equality line before the inequality.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(4x\le 8\) और \(x\le 2\)। परीक्षा में axis पर दूसरे variable को (0) रखें। / On the (x)-axis, (y=0), so \(4x\le 8\) and \(x\le 2\). Put the other variable (0) on an axis.
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। अतः \(x+4y\le 12\) में \(x=0\) रखने पर \(4y\le 12\), इसलिए \(y\le 3\)। चूँकि \(y\ge 0\) भी है, \(y\)-अक्ष पर क्षेत्र का सबसे ऊपरी बिंदु \((0,3)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\) 3 है। विकल्प 4 के लिए \(4(4)=16\), जो 12 से अधिक है। परीक्षा टिप: अक्ष पर अधिकतम मान निकालने के लिए दूसरे चर को 0 रखें। / At every point on the \(y\)-axis, \(x=0\). Substituting \(x=0\) in \(x+4y\le 12\) gives \(4y\le 12\), so \(y\le 3\). Since \(y\ge 0\), the highest point of the feasible region on the \(y\)-axis is \((0,3)\). Hence, the maximum value of \(y\) is 3. For option 4, \(4(4)=16\), which exceeds 12. Exam tip: to find a value on an axis, set the other variable equal to 0.
