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दिया है: \(3x-7<11\)। दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर \(3x<18\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 3 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x<6\) प्राप्त होता है। \(x\leq 6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Given \(3x-7<11\), add 7 to both sides to get \(3x<18\). Dividing both sides by the positive number 3 does not reverse the inequality sign, so \(x<6\). The option \(x\leq 6\) is incorrect because equality is not included in the original inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
पहले दोनों पक्षों से 5 घटाने पर \(-2x\ge 12\) मिलता है। अब \(-2\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है: \(x\le -6\)। विकल्प C निकटतम भ्रमक है, लेकिन मूल असमानता में \(\ge\) होने के कारण \(x=-6\) भी समाधान है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय चिह्न अवश्य उलटें। / Subtracting 5 from both sides gives \(-2x\ge 12\). On dividing by \(-2\), the inequality sign reverses, so \(x\le -6\). Option C is a close distractor, but \(x=-6\) is included because the original inequality has \(\ge\). Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर \(x-3+8>2x\) मिलता है। अर्थात \(x+5>2x\), जिससे \(5>x\) या \(x<5\) प्राप्त होता है। \(x\leq 5\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=5\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiplying both sides of \(\frac{x-3}{4}+2>\frac{x}{2}\) by 4 gives \(x-3+8>2x\). Thus, \(x+5>2x\), which gives \(5>x\), or \(x<5\). \(x\leq 5\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=5\), both sides are equal. Exam tip: Multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता में दोनों पक्षों में \(1.2\) जोड़ने पर \(0.3x\le 1.8\) मिलता है। अब दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(0.3\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 6\) प्राप्त होता है। \(x<6\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=6\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Adding \(1.2\) to both sides gives \(0.3x\le 1.8\). Dividing both sides by the positive number \(0.3\) does not reverse the inequality sign, so \(x\le 6\). The close distractor \(x<6\) is incorrect because \(x=6\) also satisfies the original inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\)। कोष्ठक खोलने पर \(-8x+4<8-3x\) मिलता है। अतः \(-4<5x\), इसलिए \(x>-\frac{4}{5}\)। विकल्प B में असमानता की दिशा गलत है, जबकि C में बराबरी शामिल है, जो मूल सख्त असमानता में नहीं है। परीक्षा टिप: असमानता का चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / Given \(-4(2x-1)<3(1-x)+5\), expanding the brackets gives \(-8x+4<8-3x\). Hence, \(-4<5x\), so \(x>-\frac{4}{5}\). Option B has the inequality in the wrong direction, while option C incorrectly includes equality; the original inequality is strict. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(7-(3x+2)\ge 2x-10\)। कोष्ठक खोलने पर \(7-3x-2\ge 2x-10\), अर्थात \(5-3x\ge 2x-10\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(3x\) और \(10\) जोड़ने पर \(15\ge 5x\) होता है। 5 धनात्मक है, इसलिए 5 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\le 3\) प्राप्त होता है। \(x<3\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=3\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Given \(7-(3x+2)\ge 2x-10\), opening the bracket gives \(7-3x-2\ge 2x-10\), or \(5-3x\ge 2x-10\). Adding \(3x\) and \(10\) to both sides gives \(15\ge 5x\). Since 5 is positive, dividing by 5 does not reverse the inequality sign, so \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because \(x=3\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), अर्थात \(4x+2\le 3x-12\)। दोनों पक्षों से \(3x\) और 2 घटाने पर \(x\le -14\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। \(x<-14\) निकटतम विकल्प है, पर इसमें \(x=-14\) शामिल नहीं है, जबकि वह असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(2(2x+1)\le 3(x-4)\), so \(4x+2\le 3x-12\). Subtracting \(3x\) and 2 from both sides gives \(x\le -14\). Hence, option A is correct. The closest distractor, \(x<-14\), excludes \(x=-14\), although this value satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता के बाएँ पक्ष को सरल करें: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\)। अतः \(2x-14>8\), यानी \(2x>22\), इसलिए \(x>11\)। \(x\geq11\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है और \(x=11\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलते समय \(-4(x+1)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलना न भूलें। / Simplify the left-hand side: \(2(3x-5)-4(x+1)=6x-10-4x-4=2x-14\). Thus, \(2x-14>8\), so \(2x>22\), giving \(x>11\). \(x\geq11\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=11\), both sides become equal. Exam tip: while expanding \(-4(x+1)\), apply the negative factor to both terms.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(14\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(5x-2)<3x+8\)। अतः \(10x-4<3x+8\), इसलिए \(7x<12\) और \(x<\frac{12}{7}\)। विकल्प \(x\leq\frac{12}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{12}{7}\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में कठोर असमानता \(<\) है। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(14\) does not change the inequality sign: \(2(5x-2)<3x+8\). Thus, \(10x-4<3x+8\), so \(7x<12\) and hence \(x<\frac{12}{7}\). The option \(x\leq\frac{12}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{12}{7}\), both sides are equal, whereas the question has a strict \(<\) inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर \(-5x+60\le 6x-15\) मिलता है। 60 और \(-5x\) को दूसरी ओर ले जाने पर \(75\le 11x\) प्राप्त होता है। चूँकि 11 धनात्मक है, इसलिए भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge \frac{75}{11}\) मिलता है। विकल्प C में बराबरी शामिल नहीं है, जबकि मूल असमानता में \(\le\) है। परीक्षा टिप: किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by 15 gives \(-5x+60\le 6x-15\). Moving 60 and \(-5x\) to the other sides gives \(75\le 11x\). Since 11 is positive, dividing by it does not reverse the inequality sign, so \(x\ge \frac{75}{11}\). Option C excludes equality, but the original inequality uses \(\le\). Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
सरलीकरण से (15-8x<5x+10) मिलता है। इससे (5<13x), इसलिए \(x>\frac{5}{13}\) नहीं बल्कि \(x>\frac{5}{13}\) होता है। / Simplification gives (15-8x<5x+10). This gives (5<13x), so \(x>\frac{5}{13}\).
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(1-x)+15=17-2x\) मिलता है। अतः \(4x-9\ge 17-2x\), इसलिए \(6x\ge 26\) और \(x\ge \frac{13}{3}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{3}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{3}\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही असमानता का चिह्न पलटता है। / Simplifying the right-hand side gives \(2(1-x)+15=17-2x\). Thus, \(4x-9\ge 17-2x\), so \(6x\ge 26\) and hence \(x\ge \frac{13}{3}\). The option \(x>\frac{13}{3}\) is incorrect because \(x=\frac{13}{3}\) also satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 4 है। अतः \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\)। इसलिए \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\)। \(x>17\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=17\) पर भी असमानता सत्य है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Using the common denominator 4, \(\frac{3x+5}{4}-\frac{x-1}{2}=\frac{3x+5-2(x-1)}{4}=\frac{x+7}{4}\). Hence, \(\frac{x+7}{4}\ge 6\Rightarrow x+7\ge24\Rightarrow x\ge17\). Option \(x>17\) is the closest distractor, but \(x=17\) also satisfies the inequality. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(4-x>2(x+2)\)। अतः \(4-x>2x+4\), जिससे \(-3x>0\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या \(-3\) से भाग देने पर चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<0\)। \(x\leq0\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=0\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि प्रश्न में \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by the positive number 6 does not change the inequality sign: \(4-x>2(x+2)\). Thus, \(4-x>2x+4\), giving \(-3x>0\). On dividing by the negative number \(-3\), the inequality sign reverses, so \(x<0\). The closest distractor, \(x\leq0\), is incorrect because at \(x=0\) both sides are equal, whereas the question uses \(>\). Exam tip: always reverse an inequality when multiplying or dividing by a negative number.
दिए गए असमानता में दोनों पक्षों से \(0.6x\) और \(2.4\) घटाने पर \(0.9x<-5.4\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(0.9\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को \(0.9\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(x<-6\)। \(x\le -6\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में बराबरी का चिह्न नहीं है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Subtracting \(0.6x\) and \(2.4\) from both sides gives \(0.9x<-5.4\). Since \(0.9\) is positive, dividing both sides by \(0.9\) does not reverse the inequality sign, so \(x<-6\). The option \(x\le -6\) is incorrect because the original inequality is strict and does not include equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों को हटाने के लिए असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करें: \(20x-6\ge 5x+9\)। अतः \(15x\ge 15\), इसलिए \(x\ge 1\)। \(x>1\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=1\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं; इसलिए 1 भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Multiply both sides by the positive number 10 to remove the fractions: \(20x-6\ge 5x+9\). Hence, \(15x\ge 15\), so \(x\ge 1\). The closest distractor, \(x>1\), is incorrect because at \(x=1\) both sides are equal, so 1 is included in the solution. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
कोष्ठक खोलने पर \(6-5(x-2)=16-5x\) और \(3(2-x)=6-3x\) मिलता है। अतः \(16-5x\le 6-3x\), यानी \(10\le 2x\)। 2 धनात्मक है, इसलिए 2 से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 5\) प्राप्त होता है। \(x\le 5\) गलत है, क्योंकि चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान पदों को अलग-अलग पक्षों में ले जाकर चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / On expanding the brackets, \(6-5(x-2)=16-5x\) and \(3(2-x)=6-3x\). Therefore, \(16-5x\le 6-3x\), which gives \(10\le 2x\). Since 2 is positive, dividing by 2 does not reverse the inequality sign, so \(x\ge 5\). The option \(x\le 5\) is incorrect because an inequality reverses only when multiplying or dividing by a negative number. Exam tip: after expanding brackets, move like terms carefully and check whether any operation involves a negative number.
बायाँ पक्ष (5x-10) है और असमानता \(5x-10\le 5x-7\) हमेशा सत्य है। इसलिए सही उत्तर सभी वास्तविक संख्याएँ होना चाहिए। / The left side is (5x-10), and \(5x-10\le 5x-7\) is always true. Hence the answer should be all real numbers.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(4(2x+3)=8x+12\) मिलता है। अतः असमानता \(8x+12>8x+15\) होगी। दोनों पक्षों से \(8x\) घटाने पर \(12>15\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x>3\) या \(x<3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: समान गुणांक वाले \(x\)-पदों को पहले दोनों पक्षों से घटाकर स्थिर पदों की तुलना करें। / Expanding the left-hand side gives \(4(2x+3)=8x+12\). Thus, the inequality becomes \(8x+12>8x+15\). Subtracting \(8x\) from both sides gives \(12>15\), which is false. Hence, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x>3\) or \(x<3\) are incorrect because the variable terms cancel completely. Exam tip: When the coefficients of the variable are the same on both sides, cancel those terms first and compare the constants.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 10 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(14-4x \le 3x+1\)। अब \(13 \le 7x\), इसलिए \(x \ge \frac{13}{7}\)। विकल्प \(x>\frac{13}{7}\) गलत है, क्योंकि \(x=\frac{13}{7}\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं और \(\le\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 10 does not change the inequality sign: \(14-4x \le 3x+1\). Hence, \(13 \le 7x\), so \(x \ge \frac{13}{7}\). The option \(x>\frac{13}{7}\) is incorrect because at \(x=\frac{13}{7}\), both sides are equal, and \(\le\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-3(x+2)+7=-3x+1\) और दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(2(4-x)-5=3-2x\) मिलता है। अतः \(-3x+1\ge 3-2x\), जिससे \(-x\ge 2\) और इसलिए \(x\le -2\) प्राप्त होता है। विकल्प \(x<-2\) निकट है, लेकिन \(x=-2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए \(-2\) भी हल में शामिल है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से असमानता को गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / Simplifying the left side gives \(-3(x+2)+7=-3x+1\), and simplifying the right side gives \(2(4-x)-5=3-2x\). Thus, \(-3x+1\ge 3-2x\), which gives \(-x\ge 2\), and hence \(x\le -2\). The option \(x<-2\) is close, but at \(x=-2\) both sides are equal, so \(-2\) must be included. Exam tip: reverse the inequality sign whenever you multiply or divide an inequality by a negative number.
दिए गए व्यंजक में दूसरा भिन्न हर 4 वाला है, इसलिए उसे हर 8 में लिखते हैं: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\)। अतः \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\)। ऋणात्मक संख्या \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x>2\)। \(x\geq2\) गलत है क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=2\) पर बायाँ पक्ष 1 आता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Write the second fraction with denominator 8: \(\frac{x+6}{8}-\frac{2(x-2)}{8}=\frac{10-x}{8}\). Therefore, \(\frac{10-x}{8}<1\Rightarrow 10-x<8\Rightarrow -x<-2\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x>2\). The option \(x\geq2\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=2\), the left-hand side equals 1. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(11-3x>2x+1\)। दोनों पक्षों से \(1\) घटाने पर \(10-3x>2x\) मिलता है। फिर दोनों पक्षों में \(3x\) जोड़ने पर \(10>5x\), अर्थात \(x<2\)। इसलिए अंतराल रूप में हल \(( -\infty, 2)\) है। विकल्प C में \(2\) शामिल है, लेकिन मूल असमानता कठोर \(>\) है; इसलिए \(2\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: कठोर असमानताओं \((<,>)\) में अंतराल का सिरा हमेशा खुला कोष्ठक होता है। / Given \(11-3x>2x+1\), subtracting \(1\) from both sides gives \(10-3x>2x\). Adding \(3x\) to both sides gives \(10>5x\), so \(x<2\). Hence, the interval-form solution is \(( -\infty, 2)\). Option C incorrectly includes \(2\); a strict inequality \(>\) does not include the endpoint. Exam tip: use an open bracket at an endpoint for strict inequalities \((<,>)\).
असमानता में दोनों पक्षों से \(18\) घटाने और \(7x\) जोड़ने पर \(-5x<14\) मिलता है। अब \(-5\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-\frac{14}{5}\) होगा। विकल्प \(x\geq-\frac{14}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=-\frac{14}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Subtracting \(18\) from both sides and adding \(7x\) gives \(-5x<14\). On dividing by \(-5\), the inequality sign reverses, so \(x>-\frac{14}{5}\). The option \(x\geq-\frac{14}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=-\frac{14}{5}\), both sides become equal. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
बाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2.5(2x-1)=5x-2.5\) और दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\) मिलता है। अतः \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), यानी \(3.5x\ge 7\)। चूँकि \(3.5\) धनात्मक है, इसलिए दोनों पक्षों को इससे भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता और \(x\ge 2\) मिलता है। \(x>2\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=2\) पर दोनों पक्ष बराबर हैं, इसलिए 2 भी शामिल है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Expanding the left side gives \(2.5(2x-1)=5x-2.5\), while the right side gives \(1.5(x+3)=1.5x+4.5\). Hence, \(5x-2.5\ge 1.5x+4.5\), so \(3.5x\ge 7\). Since \(3.5\) is positive, dividing both sides by it does not reverse the inequality sign, giving \(x\ge 2\). The closest distractor is \(x>2\), but \(x=2\) makes both sides equal, so it must be included. Exam tip: An inequality sign changes direction only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। असमानता को 6 से गुणा करने पर \(2(2x-5)+(x+1)\le 24\) मिलता है। अतः \(5x-9\le 24\), इसलिए \(5x\le 33\) और \(x\le \frac{33}{5}\)। विकल्प C में बराबरी का चिह्न नहीं है, जबकि मूल असमानता में \(\le\) है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators is 6. Multiplying the inequality by 6 gives \(2(2x-5)+(x+1)\le 24\). Thus, \(5x-9\le 24\), so \(5x\le 33\) and \(x\le \frac{33}{5}\). Option C wrongly excludes equality, although the original inequality contains \(\le\). Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर \(5x-5-6x-8<9\), अर्थात \(-x-13<9\) मिलता है। दोनों पक्षों में 13 जोड़ने पर \(-x<22\) होगा। अब \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है, इसलिए \(x>-22\) प्राप्त होता है। \(x<-22\) तब मिलता, जब ऋणात्मक संख्या से गुणा करते समय चिह्न न बदला जाता। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर उसका चिह्न अवश्य उलटें। / On simplifying, \(5x-5-6x-8<9\) becomes \(-x-13<9\). Adding 13 to both sides gives \(-x<22\). Multiplying by \(-1\) reverses the inequality sign, so \(x>-22\). The option \(x<-22\) results from forgetting to reverse the sign when multiplying by a negative number. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative quantity.
हरों 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 है। असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 6 से गुणा करने पर \(9-12x\ge 30-2x\) मिलता है। अतः \(-21\ge 10x\), इसलिए \(x\le -\frac{21}{10}\)। विकल्प C निकट है, पर मूल असमानता में \(\ge\) है, इसलिए सीमा मान \(-\frac{21}{10}\) भी शामिल होगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / The LCM of the denominators 2 and 3 is 6. Multiplying both sides of the inequality by the positive number 6 gives \(9-12x\ge 30-2x\). Hence, \(-21\ge 10x\), so \(x\le -\frac{21}{10}\). Option C is close, but the original inequality has \(\ge\), so the boundary value \(-\frac{21}{10}\) is included. Exam tip: multiplying or dividing an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती: \(8-(5x-1)<2x+14\)। अतः \(9-5x<2x+14\), जिससे \(-7x<5\) मिलता है। अब \(-7\) से भाग देने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x>-\frac{5}{7}\)। विकल्प C में बराबरी शामिल है, लेकिन मूल असमानता कठोर \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(8-(5x-1)<2x+14\). Thus, \(9-5x<2x+14\), which gives \(-7x<5\). Dividing by \(-7\) reverses the inequality, so \(x>-\frac{5}{7}\). Option C incorrectly includes equality, whereas the original inequality is strict. Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
असमानता \(2<x<7\) में दोनों सिरों पर कठोर असमानताएँ (<) हैं, इसलिए 2 और 7 हल-समुच्चय में शामिल नहीं होते। अतः इसका हल-समुच्चय खुला अंतराल \((2,7)\) है। विकल्प B और C अर्ध-खुले अंतराल हैं, जबकि विकल्प D बंद अंतराल है क्योंकि दोनों छोर शामिल हैं। परीक्षा टिप: < या > होने पर संबंधित छोर खुला होता है; \(\le\) या \(\ge\) होने पर छोर बंद होता है। / In \(2<x<7\), both inequalities are strict, so neither 2 nor 7 is included in the solution set. Hence, the solution set is the open interval \((2,7)\). Options B and C represent half-open intervals, while option D is a closed interval because both endpoints are included. Exam tip: An endpoint is open for < or >, and closed for \(\le\) or \(\ge\).
बाएँ पक्ष को सरल करने पर \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\) मिलता है। अतः \(5x-22>6x+1\), यानी \(-x>23\)। दोनों पक्षों को \(-1\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है, इसलिए \(x<-23\) प्राप्त होता है। \(x\le -23\) सही नहीं है क्योंकि मूल असमानता कठोर \(>\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Simplifying the left-hand side gives \(-2(5-x)+3(x-4)=-10+2x+3x-12=5x-22\). Thus, \(5x-22>6x+1\), so \(-x>23\). On multiplying both sides by \(-1\), the inequality sign reverses, giving \(x<-23\). \(x\le -23\) is incorrect because the original inequality is strict, \(>\). Exam tip: always reverse an inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
\(0.75x=\frac{3x}{4}\) लिखें। दोनों पक्षों में \(\frac{x}{4}\) जोड़ने पर \(x+\frac{1}{2}<2\) मिलता है। अब \(\frac{1}{2}\) घटाने पर \(x<\frac{3}{2}\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C गलत है क्योंकि दी गई असमता कठोर है; \(x=\frac{3}{2}\) पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं, जबकि \(<\) में बराबरी स्वीकार नहीं होती। परीक्षा टिप: असमता का चिह्न तभी पलटता है जब दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग दिया जाए। / Write \(0.75x\) as \(\frac{3x}{4}\). Adding \(\frac{x}{4}\) to both sides gives \(x+\frac{1}{2}<2\). Subtracting \(\frac{1}{2}\) gives \(x<\frac{3}{2}\), so option A is correct. Option C is incorrect because the inequality is strict: at \(x=\frac{3}{2}\), both sides are equal, which is not allowed by \(<\). Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(5\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(9x+4\ge 10x-15\)। अब \(9x\) को दाएँ और \(-15\) को बाएँ लेने पर \(19\ge x\), अर्थात \(x\le 19\)। \(x<19\) निकटतम विकल्प है, पर \(x=19\) भी असमानता को संतुष्ट करता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(5\) does not reverse the inequality: \(9x+4\ge 10x-15\). Rearranging gives \(19\ge x\), or \(x\le 19\). The closest distractor, \(x<19\), is incorrect because \(x=19\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
(14) से गुणा करने पर (42-2(2x+5)\le 7(1-x)) मिलता है। इससे \(32-4x\le 7-7x\), अतः \(x\le -\frac{25}{3}\) नहीं बल्कि \(3x\le -25\) है। / Multiplying by (14) gives (42-2(2x+5)\le 7(1-x)). This gives \(32-4x\le 7-7x\), so \(3x\le -25\).
कोष्ठक खोलने पर \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\) मिलता है। अतः \(2+3x\ge 4x-1\), इसलिए \(3\ge x\), अर्थात \(x\le 3\)। \(x<3\) निकटतम विकल्प है, पर वह गलत है क्योंकि \(x=3\) रखने पर दोनों पक्ष बराबर होते हैं और \(\ge\) में समानता शामिल होती है। परीक्षा टिप: असमानता में पदों को एक पक्ष से दूसरे पक्ष ले जाते समय चिह्न केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर पलटता है। / On expanding the bracket, \(8-3(2-x)=8-6+3x=2+3x\). Thus, \(2+3x\ge 4x-1\), which gives \(3\ge x\), or \(x\le 3\). The closest distractor, \(x<3\), is incorrect because at \(x=3\) both sides are equal, and \(\ge\) includes equality. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
हरों का लघुत्तम समापवर्त्य 6 लेकर बायाँ पक्ष \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\) बनता है। अतः \(\frac{x+5}{6}>2\) से \(x+5>12\), इसलिए \(x>7\)। \(x\geq 7\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता कठोर है और \(x=7\) पर बायाँ पक्ष 2 के बराबर होता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / Using the LCM 6, the left-hand side becomes \(\frac{2x-(x-5)}{6}=\frac{x+5}{6}\). Thus, \(\frac{x+5}{6}>2\) gives \(x+5>12\), so \(x>7\). The option \(x\geq 7\) is not correct because the original inequality is strict; at \(x=7\), the left-hand side equals 2. Exam tip: multiplying an inequality by a positive number does not reverse its sign.
दिया है \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\)। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(3\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-4x+1\le 15-3x\)। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(1\le 15+x\), अतः \(-14\le x\), अर्थात \(x\ge -14\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(x>-14\) गलत है, क्योंकि \(x=-14\) भी असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न उलटता है। / The inequality is \(\frac{-4x+1}{3}\le 5-x\). Multiplying both sides by the positive number \(3\) does not reverse the inequality sign: \(-4x+1\le 15-3x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(1\le 15+x\), so \(-14\le x\), i.e. \(x\ge -14\). Hence, option A is correct. \(x>-14\) is incorrect because \(x=-14\) also satisfies the inequality. Exam tip: reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
दिया है: \(2(1-3x)<4-7x\)। कोष्ठक खोलने पर \(2-6x<4-7x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(7x\) जोड़ने पर \(2+x<4\), अतः \(x<2\)। इसलिए सही विकल्प \(x<2\) है। \(x\leq2\) सही नहीं है, क्योंकि मूल असमानता में < है; \(x=2\) को शामिल नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: असमानता को हल करते समय केवल ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। / Given \(2(1-3x)<4-7x\), expanding the bracket gives \(2-6x<4-7x\). Adding \(7x\) to both sides gives \(2+x<4\), so \(x<2\). Hence, \(x<2\) is correct. \(x\leq2\) is not correct because the original inequality is strict, so \(x=2\) is excluded. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing both sides by a negative number.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\)। सरल करने पर \(26-2x\ge 3x+1\), अर्थात \(25\ge 5x\)। 5 से भाग देने पर \(x\le 5\) प्राप्त होता है। \(x<5\) निकटतम गलत विकल्प है, क्योंकि \(x=5\) भी मूल असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमानता का चिह्न वही रहता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(20-2(x-3)\ge 3x+1\). Simplifying gives \(26-2x\ge 3x+1\), or \(25\ge 5x\). Dividing by 5 gives \(x\le 5\). The close distractor \(x<5\) is incorrect because \(x=5\) also satisfies the original inequality. Exam tip: the inequality sign remains unchanged when multiplying or dividing by a positive number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(3(2x+1)=6x+3\) मिलता है। अतः असमानता \(6x+2<6x+3\) बनती है। दोनों पक्षों से \(6x\) घटाने पर \(2<3\) प्राप्त होता है, जो हमेशा सत्य है। इसलिए \(x\) के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए असमानता सत्य है। \(x<1\) या \(x>1\) जैसी शर्तें यहाँ नहीं बनतीं, क्योंकि \(x\) वाले पद पूरी तरह कट जाते हैं। परीक्षा टिप: रैखिक असमानता में पहले कोष्ठक खोलें और समान चर-पदों को दोनों पक्षों से घटाकर जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(3(2x+1)=6x+3\). Thus, the inequality becomes \(6x+2<6x+3\). Subtracting \(6x\) from both sides gives \(2<3\), which is always true. Therefore, the inequality is satisfied by every real value of \(x\). Conditions such as \(x<1\) or \(x>1\) do not arise because the variable terms cancel completely. Exam tip: first expand brackets, then cancel like variable terms before deciding the solution set.
\(5x\le 20\) से \(x\le 4\) मिलता है। सरल रैखिक असमानता में पहले (x) वाले पद एक ओर लाएँ। / From \(5x\le 20\), we get \(x\le 4\). In a simple linear inequality, first collect (x)-terms on one side.
दाएँ पक्ष को सरल करने पर \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\) मिलता है। अतः असमानता \(12-5x\ge 12-5x\) बनती है, जो प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए सत्य है। \(x\le0\) या \(x\ge0\) केवल कुछ मानों को लेते हैं, जबकि यहाँ कोई प्रतिबंध नहीं है। परीक्षा टिप: दोनों पक्षों को पहले पूरी तरह सरल करें; यदि दोनों समान हों और \(\ge\) या \(\le\) हो, तो सभी वास्तविक संख्याएँ हल होती हैं। / Simplifying the right-hand side gives \(3(4-2x)+x=12-6x+x=12-5x\). Thus, the inequality becomes \(12-5x\ge 12-5x\), which is true for every real value of \(x\). The conditions \(x\le0\) and \(x\ge0\) include only some values, whereas this inequality has no restriction. Exam tip: Simplify both sides first; if they become identical with \(\ge\) or \(\le\), the solution is all real numbers.
असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या \(6\) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(24-9x>6+x\)। अतः \(18>10x\), इसलिए \(x<\frac{9}{5}\)। विकल्प \(x\leq\frac{9}{5}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में \(>\) है; \(x=\frac{9}{5}\) पर दोनों पक्ष बराबर हो जाते हैं। परीक्षा टिप: असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number \(6\) does not change the inequality sign: \(24-9x>6+x\). Hence, \(18>10x\), so \(x<\frac{9}{5}\). The option \(x\leq\frac{9}{5}\) is incorrect because the original inequality is strict; at \(x=\frac{9}{5}\), both sides become equal. Exam tip: Reverse an inequality sign only when multiplying or dividing by a negative number.
\(2.7x\ge 5.5\) से \(x\ge \frac{55}{27}\) मिलता है। दशमलव हटाने के लिए (10) से गुणा करना उपयोगी है। / From \(2.7x\ge 5.5\), \(x\ge \frac{55}{27}\). Multiplying by (10) is useful for removing decimals.
बायाँ पक्ष (x-13) है। \(x-13\le x-20\) असत्य \( -13\le -20\) देता है, इसलिए कोई हल नहीं होना चाहिए। / The left side is (x-13). The inequality \(x-13\le x-20\) gives false \(-13\le -20\), so there should be no solution.
(15) से गुणा करने पर (3x-24\ge 5(2x+1)-60) मिलता है। इससे \(31\ge 7x\), इसलिए \(x\le \frac{31}{7}\)। / Multiplying by (15) gives (3x-24\ge 5(2x+1)-60). Thus \(31\ge 7x\), so \(x\le \frac{31}{7}\).
कोष्ठक खोलने पर \(9-4x-4<6-2x\), अर्थात \(5-4x<6-2x\) मिलता है। दोनों पक्षों में \(4x\) जोड़ने पर \(5<6+2x\), इसलिए \(-1<2x\)। 2 से भाग देने पर \(x>-\frac{1}{2}\) प्राप्त होता है। \(x\geq-\frac{1}{2}\) गलत है, क्योंकि मूल असमानता में चिह्न \(<\) है और \(x=-\frac{1}{2}\) को शामिल नहीं किया जाएगा। परीक्षा टिप: धनात्मक संख्या से भाग देने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता। / On expanding the brackets, \(9-4x-4<6-2x\), so \(5-4x<6-2x\). Adding \(4x\) to both sides gives \(5<6+2x\), hence \(-1<2x\). Dividing by 2 gives \(x>-\frac{1}{2}\). The option \(x\geq-\frac{1}{2}\) is incorrect because the original inequality is strict, so \(x=-\frac{1}{2}\) is not included. Exam tip: dividing by a positive number does not reverse the inequality sign.
दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या 4 से गुणा करने पर असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(-24+10x\le x-3\)। अब \(9x\le21\), इसलिए \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\)। विकल्प B में \(x=\frac{7}{3}\) शामिल नहीं है, जबकि यह मान असमानता को संतुष्ट करता है। परीक्षा टिप: किसी असमानता को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर ही उसका चिह्न उलटता है। / Multiplying both sides by the positive number 4 does not change the inequality sign: \(-24+10x\le x-3\). Hence \(9x\le21\), so \(x\le\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\). Option B incorrectly excludes \(x=\frac{7}{3}\), which satisfies the inequality. Exam tip: Reverse an inequality only when multiplying or dividing by a negative number.
दाएँ पक्ष को फैलाने पर \(2(2x+5)=4x+10\) मिलता है। अतः \(4x+7>4x+10\)। दोनों पक्षों से \(4x\) घटाने पर \(7>10\) प्राप्त होता है, जो असत्य है। इसलिए किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए असमानता सत्य नहीं है और कोई हल नहीं है। \(x<3\) या \(x>3\) जैसे विकल्प गलत हैं, क्योंकि \(x\) वाले पद कट जाने के बाद \(x\) बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: समान \(x\)-पदों के कटने पर प्राप्त स्थिर असमानता को अवश्य जाँचें। / Expanding the right-hand side gives \(2(2x+5)=4x+10\). Thus, \(4x+7>4x+10\). Subtracting \(4x\) from both sides gives \(7>10\), which is false. Therefore, the inequality is not true for any real value of \(x\), so there is no solution. Options such as \(x<3\) or \(x>3\) are incorrect because the \(x\)-terms cancel completely. Exam tip: When like variable terms cancel, always check the resulting numerical inequality.
दोनों पक्षों को 18 से गुणा करने पर, क्योंकि 18 धनात्मक है, असमानता का चिह्न नहीं बदलता: \(2(2-3x)<3(x+4)\)। अतः \(4-6x<3x+12\), यानी \(-9x<8\)। अब \(-9\) से भाग देने पर चिह्न उलट जाएगा, इसलिए \(x>-\frac{8}{9}\)। \(x\geq-\frac{8}{9}\) गलत है क्योंकि मूल असमानता में चिह्न सख्त \(<\) है। परीक्षा टिप: किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य पलटें। / Multiplying both sides by 18 does not change the inequality sign because 18 is positive: \(2(2-3x)<3(x+4)\). Thus, \(4-6x<3x+12\), so \(-9x<8\). On dividing by \(-9\), the inequality sign reverses, giving \(x>-\frac{8}{9}\). \(x\geq-\frac{8}{9}\) is incorrect because the original inequality is strict. Exam tip: always reverse the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number.
