Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The difference between consecutive terms is (4). In exams, for linear \(a_n\), the coefficient of (n) is the common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (4). The difference between consecutive terms is (4). In exams, for linear \(a_n\), the coefficient of (n) is the common difference.
Step 3
Exam Tip
लगातार पदों का अंतर (4) है। परीक्षा में रैखिक \(a_n\) में (n) का गुणांक ही सामान्य अंतर होता है।
B. नहीं, अंतर \(3,5,7,\ldots\) हैं/No, the differences are \(3,5,7,\ldots\)
Step 1
Concept
The differences are not equal, so it is not an AP. In exams, decide by checking consecutive differences, not by looking at the terms only.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं, अंतर \(3,5,7,\ldots\) हैं / No, the differences are \(3,5,7,\ldots\). The differences are not equal, so it is not an AP. In exams, decide by checking consecutive differences, not by looking at the terms only.
Step 3
Exam Tip
अंतर बराबर नहीं हैं, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं है। परीक्षा में केवल पदों को देखकर नहीं, लगातार अंतर देखकर निर्णय लें।
Equating differences gives (p+4=3p-8), so (p=6) and (d=10). For three consecutive terms, set second minus first equal to third minus second.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (p=6,d=10). Equating differences gives (p+4=3p-8), so (p=6) and (d=10). For three consecutive terms, set second minus first equal to third minus second.
Step 3
Exam Tip
बराबर अंतर रखने पर (p+4=3p-8), इसलिए (p=6) और (d=10)। परीक्षा में तीन लगातार पदों के लिए दूसरा घटाकर पहला और तीसरा घटाकर दूसरा बराबर करें।
A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r)/It is an AP and (d=r)
Step 1
Concept
Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह समांतर श्रेणी है और (d=r) / It is an AP and (d=r). Subtracting each term from the next gives (r). In exams, apply the same difference rule even with symbols.
Step 3
Exam Tip
हर अगले पद से पिछले पद को घटाने पर (r) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पदों में भी वही नियम लगाएं।
D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6)/It is an AP and (d=6)
Step 1
Concept
The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. यह समांतर श्रेणी है और (d=6) / It is an AP and (d=6). The consecutive difference is the constant (6), so the sequence is an AP. In exams, a constant \(a_{n+1}-a_n\) identifies an AP.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर स्थिर (6) है, इसलिए अनुक्रम समांतर श्रेणी है। परीक्षा में \(a_{n+1}-a_n\) स्थिर मिले तो तुरंत समांतर श्रेणी पहचानें।
C. नहीं, \(a_{n+1}-a_n=2n-2\) स्थिर नहीं है/No, \(a_{n+1}-a_n=2n-2\) is not constant
Step 1
Concept
Here the difference depends on (n), so it is not constant. In exams, a quadratic \(a_n\) usually does not form an AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, \(a_{n+1}-a_n=2n-2\) स्थिर नहीं है / No, \(a_{n+1}-a_n=2n-2\) is not constant. Here the difference depends on (n), so it is not constant. In exams, a quadratic \(a_n\) usually does not form an AP.
Step 3
Exam Tip
यहां अंतर (n) पर निर्भर करता है, इसलिए स्थिर नहीं है। परीक्षा में द्विघात \(a_n\) सामान्यतः समांतर श्रेणी नहीं देता।
Both differences are (2k-3), so it forms an AP for every real (k). In exams, simplify both differences first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. हर वास्तविक (k) / Every real (k). Both differences are (2k-3), so it forms an AP for every real (k). In exams, simplify both differences first.
Step 3
Exam Tip
दोनों अंतर (2k-3) हैं, इसलिए हर वास्तविक (k) पर समांतर श्रेणी बनती है। परीक्षा में पहले दोनों अंतर सरल करें।
The consecutive difference is \(\frac{1}{4}\). In exams, use common denominators when comparing fractional differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}\). The consecutive difference is \(\frac{1}{4}\). In exams, use common denominators when comparing fractional differences.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर \(\frac{1}{4}\) है। परीक्षा में भिन्नों के लिए समान हर बनाकर अंतर निकालें।
Each next angle decreases by \(30^\circ\), so the difference is \(-30^\circ\). In exams, keep the unit in the answer.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-30^\circ\). Each next angle decreases by \(30^\circ\), so the difference is \(-30^\circ\). In exams, keep the unit in the answer.
Step 3
Exam Tip
हर अगले कोण में \(30^\circ\) की कमी है, इसलिए अंतर \(-30^\circ\) है। परीक्षा में इकाई को भी उत्तर में बनाए रखें।
The coefficient of (n) is \(-\frac{2}{5}\), which is the common difference. In exams, identify the form \(a_n=\alpha n+\beta\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(-\frac{2}{5}\). The coefficient of (n) is \(-\frac{2}{5}\), which is the common difference. In exams, identify the form \(a_n=\alpha n+\beta\).
Step 3
Exam Tip
(n) का गुणांक \(-\frac{2}{5}\) है, वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में सूत्र को \(a_n=\alpha n+\beta\) जैसा पहचानें।
A. समांतर श्रेणी है, \(d=\sqrt{2}\)/It is an AP, \(d=\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
The terms become \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\), so the difference is \(\sqrt{2}\). In exams, simplify radicals first.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समांतर श्रेणी है, \(d=\sqrt{2}\) / It is an AP, \(d=\sqrt{2}\). The terms become \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\), so the difference is \(\sqrt{2}\). In exams, simplify radicals first.
Step 3
Exam Tip
पद \(\sqrt{2},2\sqrt{2},3\sqrt{2},4\sqrt{2}\) बनते हैं, इसलिए अंतर \(\sqrt{2}\) है। परीक्षा में मूलों को पहले सरल करें।
Equal differences give (5-m=3m-7), so (m=3) and (d=2). In exams, be careful with signs in terms containing variables.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (m=3,d=2). Equal differences give (5-m=3m-7), so (m=3) and (d=2). In exams, be careful with signs in terms containing variables.
Step 3
Exam Tip
बराबर अंतर से (5-m=3m-7), अतः (m=3) और (d=2)। परीक्षा में अज्ञात वाले पदों में चिन्हों पर विशेष ध्यान दें।
In an AP, the middle term is the average of the two extremes, so (2b=a+c). In exams, this is the fastest check for three terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (2b=a+c). In an AP, the middle term is the average of the two extremes, so (2b=a+c). In exams, this is the fastest check for three terms.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में मध्य पद दो सिरों का औसत होता है, इसलिए (2b=a+c)। परीक्षा में तीन पदों के लिए यह सबसे तेज जांच है।
The condition \(2k^2=k+k^3\) gives (k(k-1)2=0), and the nonzero value is (1). In exams, do not ignore conditions like nonzero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (k=1). The condition \(2k^2=k+k^3\) gives (k(k-1)2=0), and the nonzero value is (1). In exams, do not ignore conditions like nonzero.
Step 3
Exam Tip
शर्त \(2k^2=k+k^3\) से (k(k-1)2=0) मिलता है, और शून्येतर मान (1) है। परीक्षा में शून्येतर जैसी शर्त न भूलें।
D. नहीं, कोई वैध (p) नहीं/No, there is no valid (p)
Step 1
Concept
The middle-term condition leads to an impossible equation, so there is no valid (p). In exams, also check that denominators are nonzero.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, कोई वैध (p) नहीं / No, there is no valid (p). The middle-term condition leads to an impossible equation, so there is no valid (p). In exams, also check that denominators are nonzero.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद की शर्त से असंभव समीकरण मिलता है, इसलिए कोई वैध (p) नहीं है। परीक्षा में हरों के शून्य न होने की शर्त भी देखें।
Both differences are (h), so it is an AP for every real (h). In exams, remember that (h=0) gives a valid constant AP.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. हर वास्तविक (h) / Every real (h). Both differences are (h), so it is an AP for every real (h). In exams, remember that (h=0) gives a valid constant AP.
Step 3
Exam Tip
दोनों अंतर (h) हैं, इसलिए हर वास्तविक (h) पर समांतर श्रेणी है। परीक्षा में (h=0) होने पर भी स्थिर समांतर श्रेणी मान्य होती है।
D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता/(d) cannot be determined
Step 1
Concept
In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (d) निश्चित नहीं किया जा सकता / (d) cannot be determined. In an AP, \(a_2+a_4=2a_3\) is automatically true, so (d) is not found. In exams, check whether the information is new or just an identity.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी में \(a_2+a_4=2a_3\) अपने-आप सही होता है, इसलिए (d) नहीं मिलता। परीक्षा में पहचानें कि दी गई सूचना नई है या केवल पहचान है।
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Step 1
Concept
The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n). The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं।
C. समांतर श्रेणी है और (d=0)/It is an AP and (d=0)
Step 1
Concept
Every consecutive difference is (0), so it is a constant AP. In exams, treat (d=0) as a valid common difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. समांतर श्रेणी है और (d=0) / It is an AP and (d=0). Every consecutive difference is (0), so it is a constant AP. In exams, treat (d=0) as a valid common difference.
Step 3
Exam Tip
हर लगातार अंतर (0) है, इसलिए यह स्थिर समांतर श्रेणी है। परीक्षा में (d=0) को भी वैध सामान्य अंतर मानें।
C. नहीं, कोई वैध (x) नहीं/No, there is no valid (x)
Step 1
Concept
The middle-term condition gives (x(x+2)=(x+1)2), which is impossible. In exams, check validity after forming the equation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, कोई वैध (x) नहीं / No, there is no valid (x). The middle-term condition gives (x(x+2)=(x+1)2), which is impossible. In exams, check validity after forming the equation.
Step 3
Exam Tip
मध्य पद की शर्त से (x(x+2)=(x+1)2) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में समीकरण के बाद वैधता भी जांचें।
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\alpha\). \(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
Step 3
Exam Tip
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), इसलिए सामान्य अंतर \(\alpha\) है। परीक्षा में यह रैखिक अनुक्रम का मुख्य शॉर्टकट है।
Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a+e=b+c). Taking the terms as (a,a+d,a+2d,a+3d), both sides become (2a+3d). In exams, test relations by writing symbolic AP terms.
Step 3
Exam Tip
पद (a,a+d,a+2d,a+3d) मानने पर दोनों ओर (2a+3d) मिलता है। परीक्षा में प्रतीकात्मक पद रखकर संबंध जांचें।
Here the common difference is (-3), so the terms are decreasing. In exams, a decreasing AP has negative (d).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(20,17,14,11,\ldots\). Here the common difference is (-3), so the terms are decreasing. In exams, a decreasing AP has negative (d).
Step 3
Exam Tip
यहां सामान्य अंतर (-3) है, इसलिए पद घट रहे हैं। परीक्षा में घटती समांतर श्रेणी का (d) ऋणात्मक होता है।
Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. नहीं, कोई (q) नहीं / No, no (q). Equating differences gives (-2q-6=-2q+14), which is impossible. In exams, cancellation of the variable can produce a contradiction.
Step 3
Exam Tip
अंतर बराबर करने पर (-2q-6=-2q+14) मिलता है, जो असंभव है। परीक्षा में कभी-कभी चर कटने पर विरोधाभास मिलता है।
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The signs alternate and the difference does not remain the same. In exams, test alternating-sign sequences by differences only.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The signs alternate and the difference does not remain the same. In exams, test alternating-sign sequences by differences only.
Step 3
Exam Tip
पदों के चिन्ह बदलते हैं और अंतर समान नहीं रहता। परीक्षा में वैकल्पिक चिन्ह वाले अनुक्रम को अंतर से ही परखें।
The first term is (6) and the common difference is also (6). In exams, identify the first term and the difference separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(6,12,18,24,\ldots\). The first term is (6) and the common difference is also (6). In exams, identify the first term and the difference separately.
Step 3
Exam Tip
पहला पद (6) और सामान्य अंतर भी (6) है। परीक्षा में पहले पद और अंतर को अलग-अलग पहचानें।
Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (8). Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
Step 3
Exam Tip
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है।
A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा/It remains the old common difference
Step 1
Concept
Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पुराना सामान्य अंतर ही रहेगा / It remains the old common difference. Adding the same number to every term does not change consecutive differences. In exams, a uniform translation leaves the difference unchanged.
Step 3
Exam Tip
हर पद में समान संख्या जोड़ने से लगातार अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान स्थानांतरण को अंतर पर असरहीन मानें।
Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-3d). Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
Step 3
Exam Tip
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं।
Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (7). Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
Step 3
Exam Tip
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें।
A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=v)/They are in AP and (d=v)
Step 1
Concept
The consecutive differences are (v) and (v), so they are in AP. In exams, recognize the balanced form (u-v,u,u+v) quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वे समांतर श्रेणी में हैं और (d=v) / They are in AP and (d=v). The consecutive differences are (v) and (v), so they are in AP. In exams, recognize the balanced form (u-v,u,u+v) quickly.
Step 3
Exam Tip
लगातार अंतर (v) और (v) हैं, इसलिए वे समांतर श्रेणी में हैं। परीक्षा में संतुलित रूप (u-v,u,u+v) तुरंत पहचानें।
Both differences are (3x-4), so the terms form an AP for every real (x). In exams, if both differences are identical expressions, no separate solving is needed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. हर वास्तविक (x) / Every real (x). Both differences are (3x-4), so the terms form an AP for every real (x). In exams, if both differences are identical expressions, no separate solving is needed.
Step 3
Exam Tip
दोनों अंतर (3x-4) हैं, इसलिए हर वास्तविक (x) पर समांतर श्रेणी बनती है। परीक्षा में यदि दोनों अंतर समान अभिव्यक्ति हों तो कोई अलग हल नहीं चाहिए।
\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\), and the same difference continues. In exams, use common denominators with negative fractions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\), and the same difference continues. In exams, use common denominators with negative fractions.
Step 3
Exam Tip
\(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\) और आगे भी यही अंतर है। परीक्षा में ऋणात्मक भिन्नों के साथ समान हर का प्रयोग करें।
C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है/No, the consecutive difference is not constant
Step 1
Concept
The first terms are \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractional forms in (n) by differences.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. नहीं, लगातार अंतर स्थिर नहीं है / No, the consecutive difference is not constant. The first terms are \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\), and the differences change. In exams, test fractional forms in (n) by differences.
Step 3
Exam Tip
पहले पद \(2,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\ldots\) देते हैं और अंतर बदलते हैं। परीक्षा में भिन्नीय (n) वाले रूप को अंतर से जांचें।
In the reversed order, each step subtracts (d), so the new difference is (-d). In exams, reversing the order can change the sign of the difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (-d). In the reversed order, each step subtracts (d), so the new difference is (-d). In exams, reversing the order can change the sign of the difference.
Step 3
Exam Tip
उलटे क्रम में हर कदम पर (d) घटता है, इसलिए नया अंतर (-d) है। परीक्षा में क्रम बदलने से अंतर का चिन्ह बदल सकता है।
