Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यक की परिभाषा: किसी बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए \(p(x)=0\) होता है। यहाँ \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) और \(p(6)=0\) हैं, अतः तीन शून्यक हैं। \(p(-4)=2\) शून्य नहीं है इसलिए इसे गिनना गलत होगा। नज़दीकी गलती: कुछ विद्यार्थी केवल दो शून्यक गिन सकते हैं यदि वे किसी एक को मिस कर दें; चार चुनने वाले ने संभवतः \(p(-4)=2\) को भी शून्य समझ लिया। परीक्षा टिप: हर दिए हुए बिंदु पर सीधे \(p(x)\) का मान जांचें — केवल तभी उसे शून्यक मानें जब वह ठीक-ठीक \(0\) हो। / Definition: an x-value is a zero (root) of a polynomial when \(p(x)=0\). Here \(p(-9)=0\), \(p(2)=0\) and \(p(6)=0\), so there are three zeros. Since \(p(-4)=2\) (not zero), it must not be counted. Closest distractor: choosing two usually means one zero was overlooked; choosing four means incorrectly counting \(x=-4\). Exam tip: always check the given \(p(x)\) values and count only those equal to \(0\).
ध्यान दें कि \(p(x)=x^2-cx\) को गुणनखंड में लिखें: \(p(x)=x(x-c)\)। किसी बिंदु पर ग्राफ x-अक्ष को काटेगा जब \(p(x)=0\) हो, अतः \(x(x-c)=0\) से \(x=0\) या \(x=c\) मिलता है। इसलिए x-अक्ष के कटान बिंदु हैं \((0,0)\) और \((c,0)\)। नज़दीकी विकर्षक (B) गलत है क्योंकि वहाँ मान लिया गया है कि दूसरा शून्य \(-c\) है; पर समीकरण से सकारात्मक \(c\) आता है, न कि \(-c\)। परीक्षा टिप: बहुपद को गुणनखंडों में विभाजित कर शून्य प्राप्त करें — सामान्य रूप से सामान्य कारक (यहाँ \(x\)) बाहर निकालें। / Write the polynomial as a product: \(p(x)=x^2-cx=x(x-c)\). The graph meets the x-axis where \(p(x)=0\), so from \(x(x-c)=0\) we get \(x=0\) or \(x=c\). Thus the x-intercepts are \((0,0)\) and \((c,0)\). The closest distractor (B) is wrong because it assumes the second root is \(-c\), whereas solving gives \(+c\). Exam tip: factor the polynomial first and set each factor to zero to find x-intercepts; always check signs carefully.
A. (14) को (6) करना होगा/(14) must be changed to (6)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-6) के साथ (6) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (6) is needed with (-6). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. दो बिंदु, (x=-3) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-3)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-3) और (10) हैं तथा ((x+3)2) के कारण (-3) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (7) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-3) and (10), and ((x+3)2) causes touching at (-3). Tip: the outside (7) does not change the zeroes.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: दो ऋणात्मक कारकों का गुणन धनात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: the product of two negative factors is positive.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(d^2-4d^2=-3d^2<0\) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(d^2-4d^2=-3d^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय ((-5,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((-5,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
विविक्तकर (144-204=-60) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (144-204=-60), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
यह ((x-b)2-16) है इसलिए \(x-b=\pm4\) और शून्यक (b-4), (b+4) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-b)2-16), so \(x-b=\pm4\) and the zeroes are (b-4), (b+4). Tip: use difference of squares.
शून्यक के रूप में उन बिंदुओं के x‑मान लें: -2, 4 और 10। माध्य = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\)। विकल्प B (12) कुल योग है, न कि माध्य — कुछ विद्यार्थी योग को ही उत्तर मान लेते हैं। विकल्प C (-4) संकेत त्रुटि से आता है और विकल्प D (10) केवल एक अकेला x‑मान है। परीक्षा टिप: पहले छेदन बिंदुओं से केवल x‑मान पढ़ें और फिर कुल जोड़ को तत्वों की संख्या से भाग दें। / Take the x‑values of the intersections: -2, 4 and 10. The mean = \\(
\frac{-2+4+10}{3}=4
\\). Option B (12) mistakes the sum for the mean. Option C (-4) is a sign/error slip, and option D (10) is just the largest root, not the average. Exam tip: always extract the x‑coordinates first, then apply mean = (sum of x‑values)/(number of zeros).
