Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि r किसी बहुपद का शून्यक है तो उस शून्यक का ग्राफ पर बिंदु (r,0) होता है क्योंकि y‑मान शून्य होता है। इसलिए शून्यक -6, 2 और 9 के छेदन बिंदु (-6,0), (2,0), (9,0) होंगे। विकल्प A गलत है क्योंकि (0,-6) आदि y‑अक्ष पर बिंदु हैं (ये y‑इंटरसेप्ट हैं), विकल्प C में जो जोड़े दिए गए हैं वे शून्य के स्वरूप (r,0) में नहीं हैं, और विकल्प D में संकेत उल्टे कर दिए गए हैं। परीक्षा सुझाव: शून्यक को हमेशा x‑निर्देशांक मानकर लिखें और y को 0 रखें। / If r is a zero of the polynomial, the graph meets the x‑axis at (r,0) because the y‑value is zero. Thus for zeros -6, 2 and 9 the intersection points are (-6,0), (2,0), (9,0). Option A is wrong since (0,-6) etc. are y‑axis points (y‑intercepts), option C pairs values incorrectly so they are not of the form (r,0), and option D has the signs flipped. Exam tip: always place the zero as the x‑coordinate and set y=0 when converting a zero to a point.
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जांचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
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Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
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शून्यक (-8) और (8) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-8) and (8) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
x-अक्ष पर कटान तब मिलते हैं जब p(x)=0 हो। \(16x^2-9=0\) को घटक-फंक्शन में लिखें: \(16x^2-9=(4x-3)(4x+3)=0\)। अत: \(4x-3=0\) या \(4x+3=0\) से \(x=\pm 3/4\)। इसलिए कटान बिंदु \((3/4,0)\) और \((-3/4,0)\) हैं। विकल्प B गलती से 16 का वर्गमूल लेने में त्रुटि दर्शाता है (कुछ विद्यार्थी सीधे \(x=\pm3\) मान लेते हैं); विकल्प C उल्टा अनुपात देता है। परीक्षात्मक सुझाव: \(16x^2\) को \((4x)^2\) समझकर सीधे स्क्वायर रूट लें ताकि गलतियाँ न हों। / x-axis intercepts occur where p(x)=0. Solve \(16x^2-9=0\): factor as \(16x^2-9=(4x-3)(4x+3)=0\). Hence \(4x-3=0\) or \(4x+3=0\) giving \(x=\pm 3/4\). So the intercepts are \((3/4,0)\) and \((-3/4,0)\). Option B is wrong because it effectively ignores the factor 4 (mistakenly giving \(x=\pm3\)); option C is an incorrect reciprocal. Exam tip: view \(16x^2\) as \((4x)^2\) or take square roots carefully to avoid sign or scaling errors.
((-5,0)) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक (-5) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((-5,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (-5) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-6) और (2) हैं इसलिए बहुपद ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-6) and (2), so the polynomial is ((x+6)(x-2)=x-2+4x-12). Tip: form factors from intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,18)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,18)) does not show a zero.
(x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm3\) हैं। टिप: \(x^2+9\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-81=\(x^2-9\)\(x^2+9\)), and the real zeroes are only \(\pm3\). Tip: \(x^2+9\) gives no real zero.
छह अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (6) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For six distinct real zeroes, the degree must be at least (6). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
