Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x-2-2x+10=(x-1)2+9) है इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं है। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कटान नहीं देता। / (x-2-2x+10=(x-1)2+9), so there is no real zero. Tip: an always positive form gives no intersection.
(x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)) है इसलिए शून्यक (0,3,5) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-8x-2+15x=x(x-3)(x-5)), so the zeroes are (0,3,5). Tip: first take (x) as the common factor.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(12=\frac{6+18}{2}\) है इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य बिंदु शून्यक हो यह जरूरी नहीं। / \(12=\frac{6+18}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: the midpoint need not be a zero.
(4x-2-24x+36=4(x-3)2) है इसलिए (x=3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (4) शून्यक नहीं बदलता। / (4x-2-24x+36=4(x-3)2), so it touches at (x=3). Tip: the outside (4) does not change the zero.
(x<-9) पर दोनों कारक ऋणात्मक हैं और बाहर का ऋण चिन्ह मान को ऋणात्मक बनाता है। टिप: पहले कारकों का चिह्न देखें। / For (x<-9), both factors are negative and the outside negative makes the value negative. Tip: check factor signs first.
ग्राफ के शून्यक x = 7 और x = -4 हैं। स्पर्श बिंदु भी शून्यक होता है (समान्यतः सम घातांक — multiplicity — पर स्पर्श होता है), इसलिए शून्यकों का योग 7 + (−4) = 3 है। विकल्प B (11) तब होता यदि दोनों मानों का परस्पर संकेत न लिया जाता; विकल्प D (−3) केवल संकेत उल्टा करने पर मिलता। परीक्षा टिप: ग्राफ का स्पर्श बिंदु भी शून्यक माना जाता — केवल स्पर्श या क्रॉस होने से उसके मान में कोई बदलाव नहीं आता, केवल घातांक (multiplicity) बदलता है। / The zeros are x = 7 and x = −4. A touching point still gives a zero (typically with even multiplicity), so the sum is 7 + (−4) = 3. Option B (11) would arise if you added absolute values 7 + 4 ignoring the sign; option D (−3) is the negative of the correct sum. Exam tip: count a touching point as a root — touching vs crossing affects multiplicity (shape), not the x-value of the zero.
यदि किसी बहुपद के ग्राफ का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु \( (0,0) \) और \( (d,0) \) हैं जहाँ \( d\neq 0 \), तो उस बहुपद के शून्यकों का गुणनफल क्या होगा?
x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के x-निर्देशांक वही बहुपद के शून्यक होते हैं, इसलिए शून्यक \(0\) और \(d\) हैं। उनका गुणनफल \(0\times d=0\)। नज़दीकी विचलन: \(d\) गलत है क्योंकि एक शून्यक 0 है; \(d^2\) तब ही सही होता यदि दोनों शून्यक \(d\) होते; \(-d\) साइन की त्रुटि है। परीक्षा-टिप: यदि शून्यकों में \(0\) शामिल हो तो कुल गुणनफल अवश्य \(0\) होगा। / The x-coordinates of x-axis intersections are the polynomial's zeroes, so the zeroes are \(0\) and \(d\). Their product is \(0\times d=0\). Closest distractors: \(d\) is wrong because one factor is zero; \(d^2\) would be correct only if both zeroes were \(d\); \(-d\) is incorrect due to sign. Exam tip: if one root is \(0\), the product of roots is always \(0\).
(x-2-15x+56=(x-7)(x-8)) है इसलिए दूरी (8-7=1) है। टिप: पहले शून्यक निकालें फिर दूरी लें। / (x-2-15x+56=(x-7)(x-8)), so the distance is (8-7=1). Tip: find zeroes first and then take distance.
नीचे खुलने वाले परवलय में शून्यकों के बाहर मान ऋणात्मक होते हैं। टिप: खुलने की दिशा संकेत क्षेत्र बदलती है। / For a downward-opening parabola, values outside the zeroes are negative. Tip: opening direction changes sign regions.
वास्तविक (x) के लिए \(x^8\geq0\), इसलिए \(x^8+1>0\) है। टिप: हमेशा धनात्मक बहुपद (x)-अक्ष को नहीं काटता। / For real (x), \(x^8\geq0\), so \(x^8+1>0\). Tip: an always positive polynomial does not cut the (x)-axis.
