Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यक वह \(x\)-मान है जिसके लिए फलन का मान \(0\) हो। यहाँ \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) और \(p(4)=0\) हैं — यह तीन भिन्न \(x\)-मान हैं जिन पर फलन शून्य है। \(p(-3)=2\) शून्य नहीं है इसलिए गिना नहीं जाएगा। परीक्षा टिप: हमेशा जांचें कि दिए गए \(p(x)\) का मान 0 है या नहीं; केवल \(x\) का मान 0 होना आवश्यक नहीं है। / A zero (root) is an \(x\)-value where the function value equals \(0\). Here \(p(-7)=0\), \(p(1)=0\) and \(p(4)=0\), so three distinct \(x\)-values are zeros. Since \(p(-3)=2\) is not zero, it is not counted. Exam tip: verify \(p(x)=0\) explicitly — do not confuse an \(x\)-value with the function value being zero unless given.
गुणन करने पर \(p(x)=x^2-bx=x(x-b)\) मिलता है। इसलिए शून्य तब होंगे जब \(x=0\) या \(x=b\)। इन x‑मानों पर ग्राफ के बिंदु क्रमशः \((0,0)\) और \((b,0)\) हैं। नज़दीकी भ्रम (विकल्प B) गलत है क्योंकि वहाँ दूसरे शून्य का संकेत गलत चिन्ह (\(-b\) बजाय \(b\)) दिया गया है। परीक्षा टिप: बहुपद की शून्य-स्थान निकालने के लिए सामान्य कारक (common factor) पहले निकालें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-bx=x(x-b)\). So zeros occur at \(x=0\) and \(x=b\), which correspond to points \((0,0)\) and \((b,0)\) on the x-axis. The closest distractor (option B) is wrong because it uses \(-b\) instead of \(b\). Exam tip: always factor out the common factor first to find zeroes quickly.
A. (10) को (4) करना होगा/(10) must be changed to (4)
Explanation
Simple Explanation
(y)-अक्ष से समान दूरी के लिए शून्यक विपरीत होने चाहिए, इसलिए (-4) के साथ (4) चाहिए। टिप: सममित शून्यक (a) और (-a) होते हैं। / For equal distance from the (y)-axis, zeroes should be opposites, so (4) is needed with (-4). Tip: symmetric zeroes are (a) and (-a).
A. दो बिंदु, (x=-2) पर स्पर्श/Two points, touching at (x=-2)
Explanation
Simple Explanation
शून्यक (-2) और (7) हैं, तथा ((x+2)2) के कारण (-2) पर स्पर्श है। टिप: बाहरी (5) शून्यक नहीं बदलता। / The zeroes are (-2) and (7), and ((x+2)2) causes touching at (-2). Tip: the outside (5) does not change the zeroes.
इस अंतराल में चिह्न (+), (-), (-) हैं, इसलिए गुणनफल धनात्मक है। टिप: विषम संख्या ऋणात्मक कारकों से मान ऋणात्मक होता है। / In this interval the signs are (+), (-), (-), so the product is positive. Tip: an odd number of negative factors gives a negative value.
A. क्योंकि इसका विविक्तकर ऋणात्मक है/Because its discriminant is negative
Explanation
Simple Explanation
विविक्तकर \(c^2-4c^2=-3c^2<0\) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ (x)-अक्ष कटान नहीं है। / The discriminant is \(c^2-4c^2=-3c^2<0\), so there are no real zeroes. Tip: a negative discriminant means no (x)-axis intersection.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए परवलय ((4,0)) पर स्पर्श करेगा। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो एक अलग शून्यक होता है। / The vertex lies on the (x)-axis, so the parabola touches at ((4,0)). Tip: if the vertex has (y=0), there is one distinct zero.
विविक्तकर (64-88=-24) है, इसलिए वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: ऋणात्मक विविक्तकर पर परवलय (x)-अक्ष से नहीं मिलता। / The discriminant is (64-88=-24), so there are no real zeroes. Tip: with negative discriminant a parabola does not meet the (x)-axis.
यह ((x-a)2-9) है, इसलिए \(x-a=\pm3\) और शून्यक (a-3), (a+3) हैं। टिप: वर्गों के अंतर का उपयोग करें। / It is ((x-a)2-9), so \(x-a=\pm3\) and the zeroes are (a-3), (a+3). Tip: use difference of squares.
शून्यकों के माध्य की परिभाषा उनके मानों का योग भागा संख्या पर:
माध्य = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). विकल्प B (9) कुल योग है, न कि माध्य; विकल्प C (-3) चिह्न की गलती का परिणाम होगा; विकल्प D (7) केवल सबसे बड़ा शून्यक है। परीक्षा-टिप: छेदन-बिंदुओं से केवल x-मान लें और उनका औसत निकालें। / Mean of the zeroes is the average of their x-values:
Mean = \(\frac{-1+3+7}{3}=\frac{9}{3}=3\). Option B (9) is the sum of the roots, not the mean; option C (-3) results from a sign error; option D (7) is just the largest root. Exam tip: read only the x-coordinates of the intercepts and compute their average.
