Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी शून्यक r का ग्राफ़ पर x-अक्ष पर छेदन बिंदु (r,0) होता है क्योंकि उस बिंदु पर y=0 होता है। दिए गए शून्यक −4, 1 और 8 के लिए सही बिंदु (-4,0), (1,0), (8,0) हैं इसलिए विकल्प B σωिçत है। विकल्प A गलत है क्योंकि उसने (0,−4) आदि दिए हैं — वे y-अक्ष के बिंदु हैं (x=0) न कि x-अक्ष के। विकल्प C और D क्रमशः जोड़े मिले-जुले या संकेत उल्टे हैं और वे शून्यक के अर्थ का उल्लंघन करते हैं। परीक्षा टिप: शून्यक को पहले निर्देशांक में लिखें और y को शून्य रखें — यानी (r,0)। / A zero r corresponds to the x-axis intersection point (r,0) because at a zero the y-value is 0. For the zeros −4, 1 and 8 the correct points are (-4,0), (1,0), (8,0), so option B is correct. Option A lists (0,−4) etc., which are y-axis points (x=0), not x-axis intersections. Option C mixes coordinates incorrectly and option D flips signs, so both are incorrect. Exam tip: always place the zero as the x-coordinate and set y=0 to form (r,0).
इस अंतराल में पहले दो कारक धनात्मक और तीसरा ऋणात्मक है, इसलिए गुणनफल ऋणात्मक है। टिप: कारकों के चिह्न अलग-अलग जाँचें। / In this interval the first two factors are positive and the third is negative, so the product is negative. Tip: check factor signs separately.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
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द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
B. शून्यक परस्पर विपरीत हैं और योग (0) है/The zeroes are opposites and their sum is (0)
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शून्यक (-6) और (6) विपरीत संख्याएँ हैं। टिप: विपरीत शून्यक (y)-अक्ष से समान दूरी पर होते हैं। / The zeroes (-6) and (6) are opposite numbers. Tip: opposite zeroes are equally distant from the (y)-axis.
A. \(\left(\frac{4}{3},0\right),\;\left(-\frac{4}{3},0\right)\)
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ग्राफ का x-अक्ष छेदन बिंदु उन x-मूल्यों के अनुरूप होते हैं जिनके लिए \(p(x)=0\)। इसलिए \(9x^2-16=0\) हल करें। यह देता है \(9x^2=16\Rightarrow x^2=\frac{16}{9}\Rightarrow x=\pm\frac{4}{3}\)। वैकल्पिक रूप से यह अभिव्यक्ति अंतर वर्गों का रूप है: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\), जिससे स्पष्ट होता है कि \(x=\frac{4}{3}\) और \(x=-\frac{4}{3}\) शून्य बनाते हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\left(\frac{3}{4},0\right)\) है — यह केवल हर स्थानिक भाग के व्युत्क्रम के कारण गलत होगा; जबकि \((4,0)\) या \((-4,0)\) पर \(p(x)\) शून्य नहीं होता। परीक्षा-टिप: \(9x^2\) को \((3x)^2\) के रूप में सोचें या सीधे अंतर-व्यंजक सूत्र लागू करें। / The x-intercepts correspond to x-values where \(p(x)=0\). So solve \(9x^2-16=0\). This gives \(9x^2=16\Rightarrow x^2=\frac{16}{9}\Rightarrow x=\pm\frac{4}{3}\). Alternatively factor as a difference of squares: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\), showing zeros at \(x=\frac{4}{3}\) and \(x=-\frac{4}{3}\). The closest distractor \(\left(\frac{3}{4},0\right)\) is wrong because it flips numerator and denominator; \((4,0)\) and \((-4,0)\) do not make \(p(x)=0\) either. Exam tip: spot \(9x^2\) as \((3x)^2\) to quickly apply difference of squares or take square roots after isolating \(x^2\).
((2,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (2) और (9) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((2,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (2) and (9). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-4) और (3) हैं, इसलिए बहुपद ((x+4)(x-3)=x-2+x-12) है। टिप: कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-4) and (3), so the polynomial is ((x+4)(x-3)=x-2+x-12). Tip: form factors from intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,-15)) शून्यक नहीं बताता। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,-15)) does not show a zero.
(x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm2\) हैं। टिप: \(x^2+4\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-16=\(x^2-4\)\(x^2+4\)), and the real zeroes are only \(\pm2\). Tip: \(x^2+4\) gives no real zero.
चार अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (4) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For four distinct real zeroes, the degree must be at least (4). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
