Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो शून्यकों का औसत (2) होगा, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: परवलय में सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (2), so the other zero is (7). Tip: in a parabola the axis of symmetry passes through the midpoint of the zeroes.
तीनों अलग (x)-मानों पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलता है। टिप: स्पर्श और कटान दोनों शून्यक देते हैं। / The graph meets the (x)-axis at three distinct (x)-values. Tip: both touching and crossing give zeroes.
A. (x=-4) पर छुएगा और (x=3) पर काटेगा/It touches at (x=-4) and crosses at (x=3)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग कारक ((x+4)2) स्पर्श देता है और एकल कारक (x-3) कटान देता है। टिप: सम घात वाला कारक सामान्यतः स्पर्श दिखाता है। / The squared factor ((x+4)2) gives touching, and the single factor (x-3) gives crossing. Tip: an even-power factor usually shows touching.
ऊपर खुलने वाले परवलय में दो शून्यकों के बीच ग्राफ (x)-अक्ष के नीचे होता है। टिप: शून्यकों के बीच के क्षेत्र का संकेत पहचानें। / For an upward-opening parabola, the graph lies below the (x)-axis between the two zeroes. Tip: identify the sign region between zeroes.
बीच में ((x-1)) धनात्मक और ((x-5)) ऋणात्मक है, बाहर का ऋण चिन्ह मान को धनात्मक बनाता है। टिप: ग्राफ की स्थिति (p(x)) के चिह्न से तय करें। / Between them ((x-1)) is positive and ((x-5)) is negative, and the outside negative makes the value positive. Tip: graph position is decided by the sign of (p(x)).
शून्यक (-4), (2), (9) हैं और गुणनफल (-72) है। टिप: केवल (x)-निर्देशांकों को गुणा करें। / The zeroes are (-4), (2), (9), and their product is (-72). Tip: multiply only the (x)-coordinates.
शीर्ष (x)-अक्ष के नीचे है और ग्राफ ऊपर खुलता है, इसलिए वह (x)-अक्ष को दो बार काटेगा। टिप: शीर्ष की ऊँचाई और खुलने की दिशा साथ देखें। / The vertex is below the (x)-axis and the graph opens upward, so it cuts the (x)-axis twice. Tip: check vertex height and opening direction together.
शीर्ष (x)-अक्ष पर है, इसलिए ग्राफ वहीं स्पर्श करता है। टिप: खुलने की दिशा स्पर्श बिंदु नहीं बदलती। / The vertex lies on the (x)-axis, so the graph touches there. Tip: the opening direction does not change the touching point.
\(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\) है, अतः बहुपद का द्विघात शून्यक दोहरी (repeated) है और ग्राफ \(x=k\) पर स्पर्श करेगा। निकटतम भ्रम (option A) तब होता है जब गलती से \((x+k)^2\) मान लिया जाए; यह गलत संकेत देता है। वैकल्पिक जाँच: व्युत्पन्न विधि से नहीं, पर विनिर्देश से (discriminant) \(b^2-4ac=(-2k)^2-4\cdot1\cdot k^2=0\) होने पर दोहरी जड़ है। परीक्षा टिप: द्विघात को शीघ्र ही पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें या विभेदक (discriminant) = 0 जाँचें। / Factorising gives \(p(x)=x^2-2kx+k^2=(x-k)^2\), so the quadratic has a repeated root at \(x=k\) and the graph is tangent to the x-axis there. The closest distractor (x=-k) comes from mistakenly treating it as \((x+k)^2\) (wrong sign). Quick check: discriminant \(b^2-4ac=(-2k)^2-4\cdot1\cdot k^2=0\) confirms a double root. Exam tip: spot the perfect-square form or compute the discriminant to detect tangency.
बहुपद ((x-a)(x-b)) के बराबर है, इसलिए शून्यक (a) और (b) हैं। टिप: गुणनखंड रूप को ग्राफ कटान से जोड़ें। / The polynomial equals ((x-a)(x-b)), so the zeroes are (a) and (b). Tip: connect factor form with graph intersections.
