Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन अलग रैखिक कारक तीन अलग शून्यक (2), (5), (8) देते हैं। टिप: हर अलग कारक एक कटान दे सकता है। / Three distinct linear factors give three distinct zeroes (2), (5), (8). Tip: each distinct factor can give one intersection.
((0,0)) (y)-अक्ष और (x)-अक्ष दोनों पर है। टिप: मूल बिंदु दोनों अक्षों का साझा बिंदु है। / The point ((0,0)) lies on both the (y)-axis and the (x)-axis. Tip: the origin is common to both axes.
यह ((x-6)2) है इसलिए अलग शून्यक (6) है। टिप: पूर्ण वर्ग देखकर दोहराया शून्यक पहचानें। / It is ((x-6)2), so the distinct zero is (6). Tip: identify a repeated zero from a perfect square.
गुणनफल ((-2)\times3\times7=-42) है। टिप: सभी (x)-अक्ष कटान के (x)-मानों को गुणा करें। / The product is ((-2)\times3\times7=-42). Tip: multiply the (x)-values of all (x)-axis intersections.
C. कोई वास्तविक हल नहीं है/There is no real solution
Explanation
Simple Explanation
(p(x)=4) कभी (0) नहीं होता इसलिए ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता। टिप: अशून्य स्थिर बहुपद का शून्यक नहीं होता। / (p(x)=4) is never (0), so the graph does not cut the (x)-axis. Tip: a non-zero constant polynomial has no zero.
B. हर वास्तविक (x) शून्यक है/Every real (x) is a zero
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद हर (x) पर (0) देता है। टिप: इसे सामान्य स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The zero polynomial gives (0) for every (x). Tip: treat it differently from a usual constant polynomial.
x-अक्ष पर काटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुगुणक के शून्य (zeroes) होते हैं। दो शून्य 2 और 14 हैं, अतः उनका औसत = \(\frac{2+14}{2}=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। निकटतम भ्रमित विकल्प 6 गलती से 2 और किसी अन्य संख्या का गलत औसत मानने पर आया होगा; 12 और 16 भी सही नहीं हैं क्योंकि वे 2 और 14 का माध्य नहीं हैं। परीक्षा-सूत्र: x-अक्ष के इंटरसेप्ट के x-निर्देशांकों का सरल अंकगणित माध्य लें — यही शून्यकों का औसत होता है। / The x-coordinates of x-axis intercepts are the zeroes (roots) of the polynomial. Here the zeroes are 2 and 14, so their average is \(\frac{2+14}{2}=8\). Thus 8 is correct. The closest distractor 6 is incorrect (it is not the mean of 2 and 14); 12 and 16 are also not the arithmetic mean of the two roots. Exam tip: for two x-intercepts the average of the zeroes equals the midpoint of their x-coordinates, compute \(\frac{x_1+x_2}{2}\).
बहुपद के शून्यक वे मान हैं जिनपर बहुपद शून्य हो जाता है। गुणनखंड रूप \((x-1)(x+4)\) में शून्य प्राप्त करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखें: \(x-1=0\) से \(x=1\), और \(x+4=0\) से \(x=-4\)। बाहरी ऋण चिह्न केवल संपूर्ण मान बदलता है, शून्यक नहीं। करीबी ध्रुवीकरण (option B) गलत है क्योंकि वहाँ चिन्ह उल्टे कर दिए गए हैं। टिप: किसी बहुपद में किसी भी गैर‑शून्य समिश्र गुणांक (जैसे −1) से शून्यक प्रभावित नहीं होते—हर गुणनखंड को शून्य मानकर जड़ों को खोजें। / Zeros are values of x that make the polynomial equal to zero. From the factor form \((x-1)(x+4)\) set each factor to zero: \(x-1=0\) gives \(x=1\), and \(x+4=0\) gives \(x=-4\). The leading negative sign only multiplies the polynomial and does not change its roots. The closest distractor (option B) merely has the signs swapped, so it is incorrect. Exam tip: multiplying the polynomial by any nonzero constant does not change its zeros—solve each factor = 0 to find roots.
A. ग्राफ ((-6,0)), ((0,0)), ((5,0)) से गुजरेगा/The graph will pass through ((-6,0)), ((0,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (p(a)=0) से बिंदु ((a,0)) मिलता है। टिप: फलन मान को दूसरे निर्देशांक में रखें। / Each (p(a)=0) gives the point ((a,0)). Tip: place the function value as the second coordinate.
शून्यक (-3) और (1) हैं, इसलिए दो अलग बिंदु मिलेंगे। टिप: दोहराए हुए शून्यक (1) को अलग गिनती में एक बार गिनें। / The zeroes are (-3) and (1), so there are two distinct meeting points. Tip: count the repeated zero (1) only once for distinct points.
