Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बहुपद का शून्यक \(x=a\) होने का अर्थ है कि \(p(a)=0\)। ग्राफ़ पर इसका मतलब है कि बिंदु \((a,0)\) मौजूद है। इसलिए \(x=9\) शून्यक होने के लिए बिंदु \((9,0)\) होना आवश्यक और पर्याप्त है। गलत विकल्पों का संक्षेप में कारण: \((0,9)\) और \((9,9)\) में y ≠ 0 है, इसलिए वे शून्यक नहीं दर्शाते; \((-9,0)\) पर y = 0 जरूर है पर x = -9 है न कि 9। परिक्षा टिप: शून्यक की जाँच के लिए हमेशा y = 0 (x-अक्ष) देखें। / A zero \(x=a\) of a polynomial means \(p(a)=0\). On the graph this appears as the point \((a,0)\). Thus to show \(x=9\) is a zero the graph must contain \((9,0)\). Why other options fail: \((0,9)\) and \((9,9)\) have y ≠ 0 so they are not x-intercepts; \((-9,0)\) has y = 0 but x = -9, not 9. Exam tip: to test a claimed zero, check whether the point with that x-coordinate lies on the x-axis (y=0).
बहुपद का शून्यक वह x‑मान होता है जिसके लिए y‑मान शून्य होता है, यानी जब \,f(x)=0\, या सामान्य रूप से \(y=0\)। बिंदु (5, 0) में y=0 है, इसलिए x=5 निश्चित रूप से शून्यक है। बिंदु (2, 3) में y=3 है इसलिए x=2 शून्यक नहीं है; विकल्प d (x=0) तब ही शून्यक होता अगर ग्राफ पर (0,0) मौजूद होता। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु को शून्यक मानने से पहले हमेशा उसकी y‑सहित दोनों निर्देशांकों को जाँचें — शून्यक के लिए y=0 आवश्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x‑value for which the y‑value is zero, i.e. \(f(x)=0\) or \(y=0\). The point (5, 0) has y=0, so x=5 is definitely a zero. The point (2, 3) has y=3, so x=2 is not a zero; x=0 would be a zero only if the graph contained (0, 0). Exam tip: always check the y‑coordinate — an x‑value is a root only when the corresponding y is zero.
(x-2+x-6=(x+3)(x-2)) इसलिए शून्यक (-3) और (2) हैं। टिप: गुणनखंडों के चिह्न ध्यान से पढ़ें। / (x-2+x-6=(x+3)(x-2)), so the zeroes are (-3) and (2). Tip: read the signs in the factors carefully.
x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु के x-निर्देशांक ही बहुपद के शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक हैं \\((a), (0), (-a)\\)। इनका योग \\((a+0+(-a)=0)\\)। निकटवर्ती गलती वाले विकल्प \\((2a)\\) को चुनने वाले विद्यार्थी अक्सर \\(|a|+|a|\\) की तरह सोच लेते हैं; पर वास्तविक योग में विपरीत चिह्न मायने रखता है। परीक्षात्मक सुझाव: माता-पिता (opposite) जोड़े तुरंत शून्य कर देते हैं—विपरीत संख्याओं को जोड़ते समय उनका जोड़ शून्य होगा। / The x-intercepts give the zeros of the polynomial: the zeros are \\((a), (0), (-a)\\). Their sum is \\((a+0+(-a)=0)\\). A common wrong choice is \\((2a)\\) — that arises if one mistakenly adds absolute values or ignores the negative sign. Exam tip: pair opposite numbers first; they cancel to zero.
केवल (p(4)=0) है इसलिए (x=4) पर ग्राफ (x)-अक्ष से मिलेगा। टिप: ऋणात्मक मान शून्यक नहीं होते। / Only (p(4)=0), so the graph meets the (x)-axis at (x=4). Tip: negative values are not zeroes.
A. दो अलग वास्तविक शून्यक हैं/There are two distinct real zeroes
Explanation
Simple Explanation
यदि ग्राफ (x)-अक्ष को दो अलग स्थानों पर काटता है तो उन दोनों काटनों के x‑मान बहुपद के दो अलग वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं। दोहराए हुए शून्यक (multiplicity ≥ 2) पर ग्राफ सामान्यतः अक्ष को स्पर्श करता पर पार नहीं करता — इसलिए विकल्प B गलत है। विकल्प C और D व्यावहारिक रूप से असंगत हैं: कोई वास्तविक शून्यक न होने पर अक्ष पर कोई कटान नहीं होना चाहिए, और "हर बिंदु शून्यक" केवल शून्य बहुपद (identically zero) के लिए सत्य होता है। परीक्षात्मक टिप: अक्ष को काटना = समिक बहुलक का विषम गुणा‑घात (odd multiplicity) की संभावना; स्पर्श करना = समान्यतः सम गुणा‑घात (even multiplicity)। / When the graph crosses the (x)-axis at two different x-values, those x-values are two distinct real roots of the polynomial. A repeated root (multiplicity ≥ 2) typically causes the graph to touch the axis without crossing, so option B is incorrect. Options C and D are inconsistent with two crossings: no real root would give no crossings, and "every point is a zero" only holds for the identically zero polynomial. Exam tip: crossing the axis usually corresponds to a root of odd multiplicity, while touching without crossing corresponds to even multiplicity.
A. क्योंकि \(x^2+1\) हमेशा धनात्मक है/Because \(x^2+1\) is always positive
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक (x) के लिए \(x^2\geq0\) इसलिए \(x^2+1>0\) है। टिप: (p(x)) कभी (0) न हो तो कटान नहीं होगा। / For real (x), \(x^2\geq0\), so \(x^2+1>0\). Tip: if (p(x)) never becomes (0), there is no intersection.
x-अक्ष पर काटने के बिंदु शून्यक होते हैं, अतः शून्यक हैं \(-5\) और \(5\)। इनका गुणनफल \((-5)\times5= -25\) होता है। विकल्प B (25) तब गलत है जब ऋणात्मक चिह्न नजरअंदाज कर दिया जाए — यहाँ चिह्न महत्वपूर्ण है। विकल्प A और D असंबंधित हैं (0 तब होता यदि कोई शून्यक 0 हो, और 10 किसी दो मूल्यों का योग या अन्य संयोग हो सकता है)। परीक्षात्मक टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु सीधे शून्यक होते हैं और गुणा करते समय चिह्न का ध्यान रखें। / The x-intercepts are the zeroes, so the roots are \(-5\) and \(5\). Their product is \((-5)\times5=-25\). Option B (25) would be the absolute product ignoring the sign, which is incorrect here. Options A and D are unrelated (0 would occur if one root were 0; 10 might arise from a sum or other operation). Exam tip: read signs carefully — x-intercepts give the exact zeros including their signs, then multiply.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वह बिंदु है जहाँ p(x)=0 होता है और y मान शून्य होता है। \(p(x)=3x-15\) को शून्य रखें: \(3x-15=0\) से \(x=5\) प्राप्त होता है। अतः कटान बिंदु \((5,0)\) है। निकटभ्रामक विकल्प \((0,-15)\) y-अक्ष पर कटान (y-intercept) है क्योंकि \(p(0)=-15\)। परीक्षात्मक सुझाव: रैखिक बहुपद के x-अक्ष का छेद पाने के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और परिणाम को \((x,0)\) रूप में लिखें। / An x-intercept occurs where p(x)=0 (y=0). Set \(p(x)=3x-15=0\) which gives \(x=5\), so the x-intercept is \((5,0)\). The option \((0,-15)\) is the y-intercept because \(p(0)=-15\). Exam tip: For a linear polynomial set \(p(x)=0\) to find the x-value, then write the intercept as \((x,0)\).
यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल बिंदु (m,0) पर स्पर्श करता है और किसी अन्य स्थान पर अक्ष को नहीं काटता, तो उस बहुपद के अलग वास्तविक शून्यकों की संख्या क्या होगी?
एक ही स्पर्श बिंदु होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर बहुपद का मान शून्य है और वह मूल बार-बार (even multiplicity) आता है, यानी बहुपद में
e.g.
ein factor के रूप में
\((x-m)^2\) मौजूद हो सकता है पर बाकी फैक्टरों का मान m पर शून्य नहीं होगा। इसलिए अलग वास्तविक शून्य केवल x = m ही है, यानी 1।
सूत्रीकरण: स्पर्श = मूल का सम-गुणांक (even multiplicity); काटना = विषम-गुणांक।
गलत विकल्प क्यों नहीं: "दो" तब होता जब x-अक्ष को दो अलग बिंदुओं पर काटे; "शून्य" गलत क्योंकि स्पर्श का मतलब p(m)=0 है; "अनंत" केवल तब संभव है जब बहुपद शून्य बहुपद हो (
\(p(x)\equiv 0\)
), जो यहाँ दिए हालात से मेल नहीं खाता क्योंकि तब ग्राफ हर बिंदु पर x-अक्ष के साथ मेल खाता।
परीक्षा-सुझाव: किसी स्पर्श बिंदु को देखकर तुरंत समझें कि वह मूल कम से कम द्विगुणित (multiplicity ≥ 2 और सम) होगा — इसलिए अलग शून्य की गिनती बदलती नहीं। / A single touching point means the polynomial is zero at x = m and that root has even multiplicity (it is a repeated root), e.g. a factor
\((x-m)^2\) in p(x), while no other factor vanishes at x = m. Hence there is only one distinct real zero, x = m.
Why other options are wrong: "Two" would require the graph to cross or meet the axis at two different x-values; "Zero" is wrong because touching implies p(m)=0; "Infinitely many" happens only if the polynomial is the zero polynomial (\(p(x)\equiv 0\)), which would make the graph coincide with the x-axis everywhere, not touch at a single point.
Exam tip: Touching = even multiplicity (root repeats); crossing = odd multiplicity. Use multiplicity to count distinct zeros, not total multiplicity.
