Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
तीन क्रमागत पदों में (2) गुना मध्य पद बाकी दो पदों के योग के बराबर होता है। इसलिए (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) से (x=3)। / In three consecutive terms, twice the middle term equals the sum of the other two terms. So (2(x+8)=(2x+1)+(3x-4)) gives (x=3).
(25-19=6), इसलिए (u=19-6=13)। खाली पद निकालते समय समान अंतर को पीछे की ओर भी लगाएं। / (25-19=6), so (u=19-6=13). While finding a missing term, apply the same difference backward too.
कुल अंतर (20-2=18) तीन बराबर भागों में बंटेगा, इसलिए (d=6)। अतः (x=8), (y=14) और (x+y=22)। / The total difference (20-2=18) is split into three equal gaps, so (d=6). Hence (x=8), (y=14), and (x+y=22).
मूल (d=5) है, (2) से गुणा करने पर नया (d=10) होगा। समान (3) जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The original (d=5); multiplying by (2) makes the new (d=10). Adding the same (3) does not change (d).
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
(20-2=18) तीन अंतरालों में बंटता है, इसलिए दूसरा पद (8) और तीसरा (14) होना चाहिए। इससे (x=5) और \(x=\frac{13}{3}\) मिलते हैं, इसलिए कोई एक मान संभव नहीं है। / (20-2=18) is split into three gaps, so the second term should be (8) and the third (14). This gives (x=5) and \(x=\frac{13}{3}\), so no single value is possible.
मूल (d=4) है और (n) का अंतर (1) है, इसलिए नया (d=5)। पद संख्या जोड़ने पर उसका अंतर भी जुड़ता है। / The original (d=4), and (n) has difference (1), so the new (d=5). When adding term number, its difference is also added.
दूसरे से छठे पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=24) और (d=6)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the second to the sixth term there are (4) gaps, so (4d=24) and (d=6). Convert term distance into number of gaps.
पहले से पांचवें पद तक (4) अंतर हैं, इसलिए (4d=-20) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक होता है। / From the first to the fifth term there are (4) gaps, so (4d=-20) and (d=-5). In a decreasing progression, (d) is negative.
मूल (d=5) है और (2n) का अंतर (2) है, इसलिए नया (d=5-2=3)। पद संख्या आधारित घटाव में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (2n) has difference (2), so the new (d=5-2=3). In term-number subtraction, subtract its difference.
मूल (d=-3) है और (-2) से गुणा करने पर नया (d=6) होगा। ऋणात्मक गुणक से चिह्न बदल सकता है। / The original (d=-3), and multiplying by (-2) gives new (d=6). A negative multiplier can change the sign.
(2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)) से (4m+6=5m-2), इसलिए (m=8)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाएं। / From (2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)), (4m+6=5m-2), so (m=8). Use the twice-middle-term rule.
मूल (d=-5) है, इसलिए (5) से भाग देने पर नया (d=-1) होगा। सभी पदों को समान संख्या से भाग देने पर (d) भी उसी से भागता है। / The original (d=-5), so after division by (5), the new (d=-1). Dividing all terms by the same number divides (d) by that number too.
मध्य पद \(b=\frac{6+30}{2}=18\), इसलिए (b-a=18-6=12)। तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{6+30}{2}=18\), so (b-a=18-6=12). In three terms, the middle term is the average.
पहले तीन विकल्पों में (d=-7) है, लेकिन \(60,52,44,36,\ldots\) में (d=-8) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों जांचें। / The first three options have (d=-7), but \(60,52,44,36,\ldots\) has (d=-8). Check both value and sign in options.
(6+d=2) से (d=-4) मिलता है और (6+2d=-2) इसकी पुष्टि करता है। सामान्य रूप को दिए गए पदों से मिलाएं। / From (6+d=2), (d=-4), and (6+2d=-2) confirms it. Match the general form with the given terms.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=7) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=11)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=7), so the sum sequence has (d=11). In termwise addition, common differences add.
पहले अनुक्रम का (d=-4) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-4-3=-7)। पद-दर-पद घटाव में अंतरों को भी घटाएं। / The first sequence has (d=-4) and the second has (d=3), so the difference sequence has (d=-4-3=-7). In termwise subtraction, subtract the differences too.
मूल (d=-3) है और पद संख्या का (d=1) है, इसलिए नया (d=-3-1=-4)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=-3), and term numbers have (d=1), so the new (d=-3-1=-4). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=5-6=-1)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=5-6=-1). In termwise difference, take the difference of common differences.
स्थिर अनुक्रम का (d=0) है और दूसरे का (d=3) है, इसलिए योग का (d=3)। स्थिर अनुक्रम जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The constant sequence has (d=0), and the second has (d=3), so the sum has (d=3). Adding a constant sequence does not change (d).
मूल (d=4) है, दुगुना करने से (d=8) होगा और समान (1) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। गुणा (d) बदलता है, समान घटाव नहीं। / The original (d=4); doubling makes (d=8), and subtracting the same (1) does not change (d). Multiplication changes (d), equal subtraction does not.
(4+3d=31) से (d=9), इसलिए दूसरा पद (4+d=13)। पहले (d) निकालकर मांगा गया पद बनाएं। / From (4+3d=31), (d=9), so the second term is (4+d=13). First find (d) and then form the required term.
सभी पदों को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर (d) भी उसी से गुणा होगा, इसलिए नया (d=-5)। गुणक सीधे सार्व अंतर पर लागू होता है। / When all terms are multiplied by \(-\frac{1}{2}\), (d) is also multiplied by it, so the new (d=-5). The multiplier applies directly to the common difference.
C. नहीं, क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/No because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (16,81,196) हैं और अंतर (65,115) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (16,81,196), and the differences are (65,115), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
मध्य पद \(h=\frac{6+24}{2}=15\), इसलिए (h-6=9)। तीन पदों में मध्य पद औसत से मिलता है। / The middle term is \(h=\frac{6+24}{2}=15\), so (h-6=9). In three terms, the middle term is found by the average.
मूल (d=5) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (4n) has (d=4), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its difference.
(2(k+5)=(k-2)+(2k+1)) से (2k+10=3k-1), इसलिए (k=11)। समीकरण बनाते समय मध्य पद को पहचानें। / From (2(k+5)=(k-2)+(2k+1)), (2k+10=3k-1), so (k=11). Identify the middle term while forming the equation.
C. अंकगणितीय श्रेणी नहीं क्योंकि नए अंतर समान नहीं होंगे/Not an arithmetic progression because new differences will not be equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद \(2,8,16,\ldots\) मिलते हैं और अंतर \(6,8,\ldots\) हैं, जो समान नहीं हैं। पद संख्या के वर्ग जोड़ने से समान अंतर नहीं बचता। / The new terms are \(2,8,16,\ldots\), and the differences are \(6,8,\ldots\), which are not equal. Adding squares of term numbers does not preserve equal difference.
(a+3d-a=3d=36), इसलिए (d=12)। पहले और चौथे पद के बीच (3) समान अंतर होते हैं। / (a+3d-a=3d=36), so (d=12). There are (3) equal gaps between the first and fourth terms.
(25-4=21) तीन बराबर अंतरालों में बंटेगा इसलिए दूसरा पद (11) और तीसरा (18) होना चाहिए। इससे (x=11) और (2x+1=18) साथ-साथ सत्य नहीं होते। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so the second term should be (11) and the third (18). This makes (x=11) and (2x+1=18) impossible together.
चुना गया अनुक्रम \(5,19,33,\ldots\) होगा और इसका अंतर (14) है। हर दूसरा पद लेने पर नया (d) मूल (d) का (2) गुना होता है। / The selected sequence is \(5,19,33,\ldots\), and its difference is (14). Selecting every second term makes the new (d) twice the original (d).
