Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(9d=63) से (d=7), इसलिए \(a_{23}=95+9\cdot7=158\)। निकट दिए गए पद से दूर का पद निकालना आसान है। / From (9d=63), (d=7), so \(a_{23}=95+9\cdot7=158\). It is easier to find a distant term from a nearby given term.
\(a_{n+2}=4n^2+17n+12\), इसलिए अंतर (16n+18) है। (n+2) का वर्ग सही खोलें। / \(a_{n+2}=4n^2+17n+12\), so the difference is (16n+18). Expand ((n+2)2) correctly.
हर बार गुणन (3) हो रहा है इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद अलग रहता है। / Each term is multiplied by (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In a geometric sequence, the first term stays separate.
सूचकांक (5) बढ़ा है और सामान्य अंतर (8) है इसलिए अंतर (40) होगा। रैखिक नियम में (n) का गुणांक सामान्य अंतर देता है। / The index increases by (5) and the common difference is (8), so the difference is (40). In a linear rule, the coefficient of (n) gives the common difference.
पद \(3^3,4^3,5^3,\ldots\) हैं इसलिए (a_n=(n+2)3)। घन श्रेणी में शुरुआती आधार देखें। / The terms are \(3^3,4^3,5^3,\ldots\), so (a_n=(n+2)3). In cube sequences, observe the starting base.
\(a_5=-3\) और \(a_{11}=-27\), इसलिए योग (-30) है। ऋणात्मक संख्याओं का योग सावधानी से करें। / \(a_5=-3\) and \(a_{11}=-27\), so the sum is (-30). Add negative numbers carefully.
पद \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=3n^2\)। गुणांक वाले वर्ग पैटर्न को पहचानें। / The terms are \(3\cdot1^2,3\cdot2^2,3\cdot3^2,\ldots\), so \(a_n=3n^2\). Recognize the square pattern with its coefficient.
\(a_8=148\) और \(a_5=61\), इसलिए अंतर (87) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_8=148\) and \(a_5=61\), so the difference is (87). Find both terms separately before subtracting.
हर पद में \(\frac{9}{5}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{9n}{5}\)। समान हर वाले भिन्नों में अंश का पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{9}{5}\), so \(a_n=\frac{9n}{5}\). In fractions with a common denominator, observe the numerator pattern.
(11n-17=159) से (11n=176), इसलिए (n=16)। पद संख्या निकालने के लिए समीकरण बनाएं। / From (11n-17=159), (11n=176), so (n=16). Form an equation to find the term number.
पद \(n^2+9n+5\) से मिलते हैं। विकल्पों को पहले दो या तीन पदों पर जांचना चाहिए। / The terms match \(n^2+9n+5\). Options should be tested on the first two or three terms.
पहला पद (31) और अंतर (-5) है इसलिए (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n)। घटती श्रेणी में अंतर ऋणात्मक लें। / The first term is (31) and the difference is (-5), so (a_n=31+(n-1)(-5)=36-5n). Use a negative difference in a decreasing sequence.
\(a_{n+1}=6n^2+7n+3\), इसलिए अंतर (12n+1) है। (n+1) का वर्ग सावधानी से खोलें। / \(a_{n+1}=6n^2+7n+3\), so the difference is (12n+1). Expand ((n+1)2) carefully.
दिए गए पद \(3n^2+1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर (6) होने पर \(n^2\) का गुणांक (3) होता है। / The given terms match \(3n^2+1\). When the second difference is (6), the coefficient of \(n^2\) is (3).
हर पद में \(\frac{7}{4}\) की वृद्धि है इसलिए \(a_n=\frac{7n}{4}\)। भिन्नों में समान हर बनाकर पैटर्न देखें। / Each term increases by \(\frac{7}{4}\), so \(a_n=\frac{7n}{4}\). Use a common denominator to see the pattern in fractions.
पद \(8+2,16+2,32+2,\ldots\) हैं इसलिए \(a_n=2^{n+2}+2\)। घातीय पैटर्न में शुरुआती घात पहचानें। / The terms are \(8+2,16+2,32+2,\ldots\), so \(a_n=2^{n+2}+2\). In exponential patterns, identify the starting power.
\(a_7=a_1+6d\) से \(a_1=2\), इसलिए (a_n=2+(n-1)6=6n-4)। मध्य पद से पहला पद निकालना उपयोगी है। / From \(a_7=a_1+6d\), \(a_1=2\), so (a_n=2+(n-1)6=6n-4). Finding the first term from a middle term is useful.
(n=8) पर ((-1)9=-1) और (4(8)+1=33), इसलिए \(a_8=-33\)। वैकल्पिक चिन्ह में घात की सम-विषम स्थिति देखें। / For (n=8), ((-1)9=-1) and (4(8)+1=33), so \(a_8=-33\). In alternating signs, check whether the exponent is even or odd.
पद \(n^2+5n\) से मिलते हैं क्योंकि (n=1) पर (6) और (n=2) पर (14) आता है। विकल्पों को शुरुआती पदों पर जांचें। / The terms match \(n^2+5n\), giving (6) for (n=1) and (14) for (n=2). Test options on the starting terms.
(26-5n=-34) से (5n=60), इसलिए (n=12)। ऋणात्मक पदों में चिन्हों पर ध्यान दें। / From (26-5n=-34), (5n=60), so (n=12). Be careful with signs in negative terms.
पद \(2n^2+2n-1\) से मिलते हैं। दूसरे अंतर समान हों तो द्विघात नियम खोजें। / The terms match \(2n^2+2n-1\). If second differences are equal, look for a quadratic rule.
\(a_9=136\) और \(a_4=36\), इसलिए अंतर (100) है। दोनों पद अलग निकालकर घटाएं। / \(a_9=136\) and \(a_4=36\), so the difference is (100). Find both terms separately before subtracting.
यह गुणोत्तर श्रेणी है और \(a_7=4\cdot5^6=62500\)। गुणोत्तर श्रेणी में घात (n-1) होती है। / This is a geometric sequence and \(a_7=4\cdot5^6=62500\). In a geometric sequence, the exponent is (n-1).
(n=2k+3) रखने पर (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16)। सूचकांक का पूरा व्यंजक प्रतिस्थापित करें। / Putting (n=2k+3), (a_{2k+3}=9(2k+3)-11=18k+16). Substitute the whole expression used as the index.
दिए गए पद \(2n^2+5n\) से मिलते हैं। द्विघात पैटर्न में पहले तीन पदों पर विकल्प जांचें। / The given terms match \(2n^2+5n\). In a quadratic pattern, test the options on the first three terms.
(6d=36) से (d=6) और \(a_1=3\), इसलिए \(a_n=6n-3\)। दो पद दिए हों तो पहले सामान्य अंतर निकालें। / From (6d=36), (d=6) and \(a_1=3\), so \(a_n=6n-3\). When two terms are given, find the common difference first.
(n=6) रखने पर (5(6)2-4(6)+3=159)। वर्ग वाले पद में पहले \(n^2\) निकालें। / Putting (n=6), (5(6)2-4(6)+3=159). Calculate \(n^2\) first in a squared term.
पहला पद (14) और अंतर (8) है इसलिए (a_n=14+(n-1)8=8n+6)। समान्तर श्रेणी में (n-1) अंतर जुड़ते हैं। / The first term is (14) and the difference is (8), so (a_n=14+(n-1)8=8n+6). In an arithmetic sequence, (n-1) differences are added.
