Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(4\cdot3^{n-1}=972\) से \(3^{n-1}=243=3^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(4\cdot3^{n-1}=972\), \(3^{n-1}=243=3^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=5) and (r=3), so (S_6=\frac{5\(3^6-1\)}{3-1}=1820). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (5) है और (r=2), इसलिए अनुपात \(2^5=32\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (5) and (r=2), so the ratio is \(2^5=32\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{224}{14}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_7=\frac{2(4^7-1)}{4-1}=10922\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) उपयोग करें। / \(S_7=\frac{2(4^7-1)}{4-1}=10922\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
A. सही क्योंकि \(S_4=340\)/True because \(S_4=340\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_4=4\(4^4-1\)/(4-1)=340), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
\(a_8=192\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{3}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_8=192\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^7=\frac{3}{2}\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(6\cdot3^{n-1}=4374\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(6\cdot3^{n-1}=4374\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find (n).
पहला पद (100) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए सही नियम \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (100) and the ratio is \(\frac{1}{2}\), so the correct rule is \(100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
पहले पाँच पद (4,20,100,500,2500) हैं और योग (3124) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (4,20,100,500,2500), and the sum is (3124). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot75=900\), इसलिए (x=30) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot75=900\), so (x=30). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
(S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092) नहीं, सही गणना (3+9+27+81+243+729=1092) है। परीक्षा में योग को सीधे जोड़कर भी जाँचें। / (S_6=\frac{3\(3^6-1\)}{3-1}=1092). In exams, you can also verify the sum by direct addition.
पहला पद (12) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=12\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (12) and the ratio is (4), so \(a_n=12\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(6\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(6\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{5}\) है, इसलिए छठा पद \(625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{5}\), so the sixth term is \(625\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5}\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
यहाँ \(a=7\) और \(r=2\) है इसलिए \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=7\) and \(r=2\), so \(a_{12}=7\cdot2^{11}=14336\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(625=5r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=3125\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(625=5r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=3125\). First find the ratio and then form the next term.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही स्थिर अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में \(18/6=3\) और \(54/18=3\) है, इसलिए इसका सार्व अनुपात 3 है और यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प A में अनुपात 2 और \(5/2\) हैं, इसलिए वह गुणोत्तर श्रेणी नहीं है। परीक्षा टिप: तीन पद \(a,b,c\) हों तो जाँचें कि \(b/a=c/b\) है या नहीं। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the same constant ratio. In option B, \(18/6=3\) and \(54/18=3\), so the common ratio is 3 and the terms form a GP. In option A, the ratios are 2 and \(5/2\), so it is not a GP. Exam tip: for three terms \(a,b,c\), check whether \(b/a=c/b\).
\(x^2=16\cdot81=1296\), इसलिए धनात्मक (x=36)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=16\cdot81=1296\), so positive (x=36). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(a_1=\frac{14}{5}\) और \(a_3=70\), इसलिए योग \(\frac{364}{5}\) है। आगे और पीछे दोनों दिशा में अनुपात का उपयोग करें। / \(a_1=\frac{14}{5}\) and \(a_3=70\), so the sum is \(\frac{364}{5}\). Use the ratio both backward and forward.
(r=-3) है, इसलिए (a_7=1\cdot(-3)6=729)। सम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान धनात्मक होता है। / Here (r=-3), so (a_7=1\cdot(-3)6=729). An even power of a negative ratio gives a positive value.
पहले (5) पद \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\) हैं और योग \(\frac{93}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(12,6,3,\frac{3}{2},\frac{3}{4}\), and their sum is \(\frac{93}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=4\), और \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=4\), and \(a_6=a_4r^2=80\cdot4=320\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_5}{a_3}=r^2=3^2=9\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
पहले चार पद (1,4,16,64) हैं और गुणनफल (4096) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (1,4,16,64), and their product is (4096). Multiply each term carefully in product questions.
पद (2,10,50,250,1250,6250) हैं, इसलिए (6000) से छोटा सबसे बड़ा पद (1250) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (2,10,50,250,1250,6250), so the greatest term below (6000) is (1250). The next term crosses the limit.
ज्यामितीय प्रगति में \(a_n=a_m r^{n-m}\) होता है। इसलिए \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\)। ध्यान रखें कि \(a_4=6\) है, इसलिए 6 निकटतम distractor है; \(a_5\) के लिए तीन बार अनुपात से गुणा करना होगा। / For a geometric progression, \(a_n=a_m r^{n-m}\). Hence, \(a_5=a_2r^{5-2}=24\left(\frac{1}{2}\right)^3=24\times\frac{1}{8}=3\). Note that \(a_4=6\), so 6 is a close distractor; to reach \(a_5\) from \(a_2\), multiply by the common ratio three times.
B. \(r=\frac{1}{3}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{3}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{3}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
\(a_4=162\) और \(a_6=1458\), इसलिए अंतर (1296) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=162\) and \(a_6=1458\), so the difference is (1296). First find both terms using the correct powers.
((3x)2=x\cdot27), इसलिए \(9x^2=27x\) और धनात्मक (x=3)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((3x)2=x\cdot27), so \(9x^2=27x\) and positive (x=3). Do not take zero as a positive solution.
