Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. सही क्योंकि \(S_4=780\)/True because \(S_4=780\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020) नहीं; सीधे योग (12+48+192+768=1020) है, इसलिए कथन गलत है। / (S_4=\frac{12\(4^4-1\)}{4-1}=1020), so the statement is false. In exams, verify statement-type questions carefully.
\(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_9=256\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=1\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(8\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(8\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
पहला पद (216) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (216) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(216\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
पहले पाँच पद (6,30,150,750,3750) हैं और योग (4686) है। परीक्षा में बड़े अनुपात में पदों को सावधानी से जोड़ें। / The first five terms are (6,30,150,750,3750), and their sum is (4686). In exams, add terms carefully when the ratio is large.
मध्य पद के लिए \(x^2=18\cdot200=3600\), इसलिए (x=60) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=18\cdot200=3600\), so (x=60). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
\(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_6=\frac{4(3^6-1)}{3-1}=1456\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
पहला पद (14) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=14\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (14) and the ratio is (3), so \(a_n=14\cdot3^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(8\cdot2^{n-1}=4096\) से \(2^{n-1}=512=2^9\), इसलिए (n=10) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(8\cdot2^{n-1}=4096\), \(2^{n-1}=512=2^9\), so (n=10). In exams, equate powers to find the term number.
यहाँ \(r=\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{3}\), so \(a_8=729\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^7=\frac{1}{3}\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
यहाँ (a=5) और (r=3) है, इसलिए \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here (a=5) and (r=3), so \(a_{13}=5\cdot3^{12}=2657205\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
(S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)) और (2\(3^n-1\)=484) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{4\(3^n-1\)}{3-1}=2\(3^n-1\)), and (2\(3^n-1\)=484) gives (n=5). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=3\cdot5^4=1875\) और \(a_6=9375\), इसलिए योग (11250) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=3\cdot5^4=1875\) and \(a_6=9375\), so the sum is (11250). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और सातवाँ पद \(\frac{3}{2}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the seventh term is \(\frac{3}{2}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(750=6r^3\) से \(r^3=125\) और (r=5), इसलिए \(a_5=750\cdot5=3750\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(750=6r^3\), \(r^3=125\) and (r=5), so \(a_5=750\cdot5=3750\). In exams, find the ratio first.
\(12\cdot2^{n-1}=1536\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(12\cdot2^{n-1}=1536\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=250\) और \(a_5=1250\), इसलिए योग (1500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=250\) and \(a_5=1250\), so the sum is (1500). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{1215}{45}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=45\div3^2=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{1215}{45}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=45\div3^2=5\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (162,54,18,6,2) हैं और योग (242) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (162,54,18,6,2), and the sum is (242). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(128\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=8\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_6=486\) और \(a_7=1458\), इसलिए योग (1944) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_6=486\) and \(a_7=1458\), so the sum is (1944). In exams, find both terms separately and add.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (405,135,45,15,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (405,135,45,15,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
तीसरे से नौवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_9=72\cdot2^6=4608\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the third to the ninth term, so \(a_9=72\cdot2^6=4608\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (2+14+98+686=800) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (2+14+98+686=800). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
\(10\cdot4^{n-1}=10240\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(10\cdot4^{n-1}=10240\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
\(2\cdot4^{n-1}=2048\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(2\cdot4^{n-1}=2048\), so \(4^{n-1}=1024=4^5\) and (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
छठा पद \(x\cdot3^5=243x=2430\) है, इसलिए (x=10) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The sixth term is \(x\cdot3^5=243x=2430\), so (x=10). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{1024}{16}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{16}{4}=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{1024}{16}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{16}{4}=4\). In exams, find (r) first and then the first term.
\(1024\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2\) से \(2^{10-(n-1)}=2^1\), इसलिए \(n=10\) है। परीक्षा में घटती घातों को सावधानी से गिनें। / From \(1024\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=2\), \(2^{10-(n-1)}=2^1\), so \(n=10\). In exams, count decreasing powers carefully.
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
