Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पद (384,192,96,48,24,12,6) हैं, इसलिए (6) सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are (384,192,96,48,24,12,6), so (6) is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
\(5,15,45,135,405,1215,\ldots\) में \(a_3=45\) और \(a_6=1215\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(5,15,45,135,405,1215,\ldots\), \(a_3=45\) and \(a_6=1215\). Check each option up to the required positions.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(1792=7r^4\) और \(r^4=256\), अतः (r=4)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(1792=7r^4\) and \(r^4=256\), hence (r=4). When positive ratio is asked, take the positive root.
सार्व अनुपात (-2) है और (a_7=8(-2)6=512) है। ऋणात्मक अनुपात की सम घात धनात्मक होती है। / The common ratio is (-2), and (a_7=8(-2)6=512). An even power of a negative ratio is positive.
(S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)) और (3\(3^n-1\)=2184) से (n=6) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=\frac{6\(3^n-1\)}{3-1}=3\(3^n-1\)), and (3\(3^n-1\)=2184) gives (n=6). In exams, simplify the sum and identify the power.
\(a_5=5\cdot4^4=1280\) और \(a_6=5120\), इसलिए योग (6400) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=5\cdot4^4=1280\) and \(a_6=5120\), so the sum is (6400). In exams, calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{50}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{50}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(1792=7r^7\) से \(r^7=256=2^8\) नहीं बनता, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। परीक्षा में (n-1) और घात दोनों ध्यान से जाँचें। / \(1792=7r^7\) gives \(r^7=256\), which does not match any option exactly. In exams, check (n-1) and powers carefully.
\(216=8r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=216\cdot3=648\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(216=8r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=216\cdot3=648\). In exams, find the ratio first.
\(18\cdot2^{n-1}=2304\) से \(2^{n-1}=128=2^7\), इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(18\cdot2^{n-1}=2304\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=500\) और \(a_5=2500\), इसलिए योग (3000) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=500\) and \(a_5=2500\), so the sum is (3000). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{648}{24}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=24\div3=8\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{648}{24}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=24\div3=8\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद (128,64,32,16,8) हैं और योग (248) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (128,64,32,16,8), and the sum is (248). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(162\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=2\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_5=1024\) और \(a_6=4096\), इसलिए योग (5120) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=1024\) and \(a_6=4096\), so the sum is (5120). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_5=1210\)/True because \(S_5=1210\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_5=\frac{10\(3^5-1\)}{3-1}=1210). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (810,270,90,30,10) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (810,270,90,30,10). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
चौथे से दसवें पद तक (6) कदम हैं, इसलिए \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) steps from the fourth to the tenth term, so \(a_{10}=96\cdot2^6=6144\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (3+18+108+648=777) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (3+18+108+648=777). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
\(9\cdot4^{n-1}=9216\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(9\cdot4^{n-1}=9216\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find the term number.
\(3\cdot4^{n-1}=12288\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(3\cdot4^{n-1}=12288\), so \(4^{n-1}=4096=4^6\) and (n=7). In exams, equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot4^4=256x=1280\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot4^4=256x=1280\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{5120}{80}=64=r^3\) से (r=4) और \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{5120}{80}=64=r^3\), so (r=4) and \(a_1=\frac{80}{4^2}=5\). In exams, find (r) first and then the first term.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा होता है और पद (640,320,160,80,40,20,10,5) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), and the terms are (640,320,160,80,40,20,10,5). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), इसलिए (r=4) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{5120}{20}=256\), so (r=4). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(7\cdot3^{n-1}=5103\) से \(3^{n-1}=729=3^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(7\cdot3^{n-1}=5103\), \(3^{n-1}=729=3^6\), so (n=7). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=6) और (r=4) है, इसलिए (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=6) and (r=4), so (S_5=\frac{6\(4^5-1\)}{4-1}=2046). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_7}{a_3}=r^4=\frac{576}{36}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) उपयोग करें। / \(S_6=\frac{5(4^6-1)}{4-1}=6825\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
