Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यहाँ \(r=\frac{1}{2}\) है, इसलिए \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात सावधानी से लगाएँ। / Here \(r=\frac{1}{2}\), so \(a_9=1024\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^8=4\). In exams, apply fractional ratios carefully in decreasing GPs.
यहाँ \(a=2\) और \(r=3\) है, इसलिए \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / Here \(a=2\) and \(r=3\), so \(a_{10}=2\cdot3^9=39366\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
\(a_2=2a_1\) और \(a_4=8a_1\), इसलिए \(10a_1=170\) और \(a_1=17\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_4=8a_1\), so \(10a_1=170\) and \(a_1=17\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
\(500=4r^3\), इसलिए \(r^3=125\) और (r=5), अतः \(a_5=2500\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(500=4r^3\), so \(r^3=125\) and (r=5), hence \(a_5=2500\). First find the ratio and then form the next term.
\(x^2=36\cdot100=3600\), इसलिए धनात्मक (x=60)। मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / \(x^2=36\cdot100=3600\), so positive (x=60). The square of the middle term equals the product of the outer terms.
\(a_1=\frac{22}{3}\) और \(a_4=198\), इसलिए योग \(\frac{616}{3}\) नहीं बल्कि \(\frac{616}{3}\) है। सही विकल्पों में \(\frac{616}{3}\) होना चाहिए। / \(a_1=\frac{22}{3}\) and \(a_4=198\), so the sum is \(\frac{616}{3}\). The correct option should include \(\frac{616}{3}\).
(r=-4) है, इसलिए (a_6=3(-4)5=-3072)। विषम घात पर ऋणात्मक अनुपात का मान ऋणात्मक होता है। / Here (r=-4), so (a_6=3(-4)5=-3072). An odd power of a negative ratio gives a negative value.
पहले (5) पद \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\) हैं और योग \(\frac{279}{4}\) है। भिन्न पदों को समान हर से जोड़ें। / The first (5) terms are \(36,18,9,\frac{9}{2},\frac{9}{4}\), and their sum is \(\frac{279}{4}\). Add fractional terms using a common denominator.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=9\), और \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\)। समान दूरी पर वही गुणक लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=9\), and \(a_7=a_5r^2=360\cdot9=3240\). The same multiplier applies over the same gap.
\(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\)। समान श्रेढ़ी में पदों का अनुपात पद-संख्या के अंतर पर निर्भर करता है। / \(\frac{a_7}{a_4}=r^3=4^3=64\). In the same progression, the ratio of terms depends on the difference of positions.
पहले चार पद (3,12,48,192) हैं और गुणनफल (589824) है। गुणनफल में हर पद को सावधानी से गुणा करें। / The first four terms are (3,12,48,192), and their product is (589824). Multiply each term carefully in product questions.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए (r=3), अतः \(a_7=1215\cdot3=3645\)। पहले अनुपात निकालकर आगे बढ़ें। / \(a_6=a_2r^4\), so (r=3), hence \(a_7=1215\cdot3=3645\). First find the ratio and then move forward.
पद (11,22,44,88,176,352,704,1408) हैं, इसलिए (800) से छोटा सबसे बड़ा पद (704) है। अगला पद सीमा पार करता है। / The terms are (11,22,44,88,176,352,704,1408), so the greatest term below (800) is (704). The next term crosses the limit.
\(a_6=a_3r^3=45\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{5}{3}\)। तीन पद आगे जाने पर \(r^3\) लगता है। / \(a_6=a_3r^3=45\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{5}{3}\). Moving three positions forward uses \(r^3\).
B. \(r=\frac{1}{2}\) और श्रेढ़ी घटती है/\(r=\frac{1}{2}\) and the progression decreases
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए श्रेढ़ी घटती है। अनुपात की दिशा और मान दोनों देखें। / Each term is \(\frac{1}{2}\) of the previous term, so the progression decreases. Check both the value and direction of the ratio.
\(a_4=270\) और \(a_6=2430\), इसलिए अंतर (2160) है। पहले दोनों पद सही घात से निकालें। / \(a_4=270\) and \(a_6=2430\), so the difference is (2160). First find both terms using the correct powers.
((5x)2=x\cdot125), इसलिए \(25x^2=125x\) और धनात्मक (x=5)। शून्य को धनात्मक हल में नहीं लें। / ((5x)2=x\cdot125), so \(25x^2=125x\) and positive (x=5). Do not take zero as a positive solution.
\(64,-16,4,-1,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(64,-16,4,-1,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{4}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
पद (10,-20,40,-80,160) हैं और योग (110) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (10,-20,40,-80,160), and their sum is (110). Add signs carefully with a negative ratio.
\(a_5=a_3r^2\), इसलिए \(r^2=16\), और \(a_7=288\cdot16=4608\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_5=a_3r^2\), so \(r^2=16\), and \(a_7=288\cdot16=4608\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
पद (3,15,75,375,1875,9375,46875) हैं, इसलिए (10000) से छोटा सबसे बड़ा पद (9375) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (3,15,75,375,1875,9375,46875), so the greatest term below (10000) is (9375). In boundary questions, check the next term too.
\(12,24,48,96,\ldots\) में \(a_4=96\) और सार्व अनुपात (2) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(12,24,48,96,\ldots\), \(a_4=96\) and the common ratio is (2). Match both the position and the ratio.
\(x^2=5\cdot80=400\), इसलिए (x=20) और (r=4), अतः (y=320)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=5\cdot80=400\), so (x=20) and (r=4), hence (y=320). First use the middle term to find the ratio.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(8192=32r^4\) और (r=4), अतः \(a_1=8\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_6=a_2r^4\), so \(8192=32r^4\) and (r=4), hence \(a_1=8\). First find the ratio and then move backward.
(r=3) पर पद (4,12,36,108,324) हैं और योग (484) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=3), the terms are (4,12,36,108,324) and the sum is (484). For small options, forming the terms is quick.
\(32,16,8,4,2,\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और पाँचवाँ पद (2) है। विकल्पों में पहला और पाँचवाँ पद दोनों जांचें। / In \(32,16,8,4,2,\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fifth term is (2). Check both first and fifth terms in the options.
\(a_2=3a_1\) और \(a_4=27a_1\), इसलिए \(30a_1=90\) और \(a_1=3\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=3a_1\) and \(a_4=27a_1\), so \(30a_1=90\) and \(a_1=3\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
पद (9,18,36,72,144,288,576,1152) हैं, इसलिए (600) से छोटा सबसे बड़ा पद (576) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (9,18,36,72,144,288,576,1152), so the greatest term below (600) is (576). In boundary questions, check the next term too.
मध्य पद के लिए ((3x)2=(x+2)(6x+4)), इससे (x=4) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((3x)2=(x+2)(6x+4)), which gives (x=4). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
\(a_7=a_3r^4\), इसलिए \(576=36r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_7=a_3r^4\), so \(576=36r^4\) and (r=2), hence \(a_1=\frac{36}{2^2}=9\). Divide by the ratio to move backward.
