Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{40}{81}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{40}{81}\). In exams, fractional terms can also be checked in order.
\(270=10r^3\) से \(r^3=27\) और (r=3), इसलिए \(a_5=270\cdot3=810\) है। परीक्षा में पहले अनुपात निकालें। / From \(270=10r^3\), \(r^3=27\) and (r=3), so \(a_5=270\cdot3=810\). In exams, find the ratio first.
\(15\cdot2^{n-1}=3840\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(15\cdot2^{n-1}=3840\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, factor first and compare powers.
\(a_4=750\) और \(a_5=3750\), इसलिए योग (4500) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=750\) and \(a_5=3750\), so the sum is (4500). In exams, find both terms separately and add.
\(\frac{2500}{20}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=20\div5=4\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{2500}{20}=125=r^3\), (r=5) and \(a_1=20\div5=4\). In exams, find (r) first and then \(a_1\).
पद \(96,48,24,12,6,3\) हैं और योग (189) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are \(96,48,24,12,6,3\), and their sum is \(189\). In exams, direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\) से \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), इसलिए \(n=5\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(405\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=5\), \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{1}{81}\), so \(n=5\). In exams, simplify fractions first.
\(a_5=768\) और \(a_6=3072\), इसलिए योग (3840) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=768\) and \(a_6=3072\), so the sum is (3840). In exams, find both terms separately and add.
A. सही क्योंकि \(S_4=680\)/True because \(S_4=680\)
Explanation
Simple Explanation
(S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680) है। परीक्षा में कथन-प्रकार प्रश्न में सूत्र से पुष्टि करें। / (S_4=\frac{8\(4^4-1\)}{4-1}=680). In exams, confirm statement-type questions with the formula.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है, इसलिए पद (486,162,54,18,6,2) हैं। परीक्षा में घटती GP को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), so the terms are (486,162,54,18,6,2). In exams, you can also check a decreasing GP in order.
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं, इसलिए \(a_9=162\cdot3^5=39366\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=162\cdot3^5=39366\). In exams, count the position gap.
पहले चार पदों का योग (5+30+180+1080=1295) है। परीक्षा में पद कम हों तो सीधे जोड़ना सुरक्षित है। / The sum of the first four terms is (5+30+180+1080=1295). In exams, direct addition is safe when the number of terms is small.
\(2\cdot4^{n-1}=8192\) से \(4^{n-1}=4096=4^6\), इसलिए (n=7) है। परीक्षा में घात बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(2\cdot4^{n-1}=8192\), \(4^{n-1}=4096=4^6\), so (n=7). In exams, equate powers to find the term number.
\(4\cdot4^{n-1}=4096\) से \(4^n=4096=4^6\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / \(4\cdot4^{n-1}=4096\) gives \(4^n=4096=4^6\), so (n=6). In exams, equate the last term to the general term.
पाँचवाँ पद \(x\cdot5^4=625x=3125\) है, इसलिए (x=5) है। परीक्षा में बीजीय पहले पद को भी \(ar^{n-1}\) में रखें। / The fifth term is \(x\cdot5^4=625x=3125\), so (x=5). In exams, put the algebraic first term in \(ar^{n-1}\) too.
\(\frac{6250}{50}=125=r^3\) से (r=5) और \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर पहला पद। / \(\frac{6250}{50}=125=r^3\), so (r=5) and \(a_1=\frac{50}{5^2}=2\). In exams, find (r) first and then the first term.
\(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), इसलिए (r=3) है। परीक्षा में पद-अंतर (4) हो तो \(r^4\) बनेगा। / \(\frac{a_6}{a_2}=r^4=\frac{1458}{18}=81\), so (r=3). In exams, a gap of (4) positions gives \(r^4\).
\(3\cdot5^{n-1}=9375\) से \(5^{n-1}=3125=5^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में पद संख्या के लिए घात की तुलना करें। / From \(3\cdot5^{n-1}=9375\), \(5^{n-1}=3125=5^5\), so (n=6). In exams, compare powers to find the term number.
यहाँ (a=9) और (r=2) है, इसलिए (S_8=9\(2^8-1\)=2295) है। परीक्षा में सामान्य पद से (a) और (r) पहचानें। / Here (a=9) and (r=2), so (S_8=9\(2^8-1\)=2295). In exams, identify (a) and (r) from the general term.
पद-संख्या का अंतर (4) है और (r=3), इसलिए अनुपात \(3^4=81\) है। परीक्षा में \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\) लगाएँ। / The position gap is (4) and (r=3), so the ratio is \(3^4=81\). In exams, use \(\frac{a_m}{a_n}=r^{m-n}\).
\(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), इसलिए (r=2) है। परीक्षा में दूर के पदों का अनुपात पद-अंतर की घात देता है। / \(\frac{a_8}{a_4}=r^4=\frac{768}{48}=16\), so (r=2). In exams, the ratio of distant terms gives a power based on the position gap.
\(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\) है। परीक्षा में (r>1) के लिए \(\frac{r^n-1}{r-1}\) रूप उपयोगी है। / \(S_6=\frac{4^6-1}{4-1}=1365\). In exams, the form \(\frac{r^n-1}{r-1}\) is useful for (r>1).
A. सही क्योंकि \(S_5=363\)/True because \(S_5=363\)
Explanation
Simple Explanation
(S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363) है, इसलिए कथन सही है। परीक्षा में कथन की जाँच सूत्र से करें। / (S_5=\frac{3\(3^5-1\)}{3-1}=363), so the statement is true. In exams, verify the statement using the formula.
\(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात के घात सावधानी से लगाएँ। / \(a_6=160\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^5=5\). In exams, apply powers of fractional ratios carefully.
\(5\cdot4^{n-1}=5120\) से \(4^{n-1}=1024=4^5\), इसलिए (n=6) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके (n) निकालें। / From \(5\cdot4^{n-1}=5120\), \(4^{n-1}=1024=4^5\), so (n=6). In exams, equate powers to find (n).
पहला पद (243) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए सही नियम \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती GP में भिन्न अनुपात लिखें। / The first term is (243) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so the correct rule is \(243\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, write the fractional ratio in a decreasing GP.
मध्य पद के लिए \(x^2=12\cdot108=1296\), इसलिए (x=36) है। परीक्षा में तीन GP पदों में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, \(x^2=12\cdot108=1296\), so (x=36). In exams, the square of the middle GP term equals the product of the outer terms.
\(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\) है। परीक्षा में \(r>1\) के लिए \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) लगाएँ। / \(S_7=\frac{3(3^7-1)}{3-1}=3279\). In exams, use \(\frac{a(r^n-1)}{r-1}\) for \(r>1\).
पहला पद (6) और अनुपात (4) है, इसलिए \(a_n=6\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (a) और (r) सही रखें। / The first term is (6) and the ratio is (4), so \(a_n=6\cdot4^{n-1}\). In exams, keep (a) and (r) correct in \(ar^{n-1}\).
\(7\cdot2^{n-1}=1792\) से \(2^{n-1}=256=2^8\), इसलिए (n=9) है। परीक्षा में घातों को बराबर करके पद संख्या निकालें। / From \(7\cdot2^{n-1}=1792\), \(2^{n-1}=256=2^8\), so (n=9). In exams, equate powers to find the term number.
