Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(32,-16,8,-4,\ldots\) में हर बार \(-\frac{1}{2}\) से गुणा होता है। अनुपात के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / In \(32,-16,8,-4,\ldots\), each term is multiplied by \(-\frac{1}{2}\). Divide the next term by the previous term to find the ratio.
पद (4,-8,16,-32,64) हैं और योग (44) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्नों को ध्यान से जोड़ें। / The terms are (4,-8,16,-32,64), and their sum is (44). Add signs carefully with a negative ratio.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(r^2=16\) और धनात्मक क्रम में \(a_6=128\cdot16=2048\)। समान दूरी पर वही \(r^2\) फिर लगता है। / \(a_4=a_2r^2\), so \(r^2=16\), and for the positive sequence \(a_6=128\cdot16=2048\). The same \(r^2\) applies over the same gap.
पद (1,3,9,27,81,243,729,2187) हैं, इसलिए (1000) से छोटा सबसे बड़ा पद (729) है। सीमा वाले प्रश्न में अगला पद भी जांचें। / The terms are (1,3,9,27,81,243,729,2187), so the greatest term below (1000) is (729). In boundary questions, check the next term too.
\(2,10,50,250,\ldots\) में \(a_3=50\) और सार्व अनुपात (5) है। पद-संख्या और अनुपात दोनों मिलाएं। / In \(2,10,50,250,\ldots\), \(a_3=50\) and the common ratio is (5). Match both the position and the ratio.
\(x^2=2\cdot18=36\), इसलिए (x=6) और (r=3), अतः (y=54)। पहले मध्य पद से अनुपात निकालें। / \(x^2=2\cdot18=36\), so (x=6) and (r=3), hence (y=54). First use the middle term to find the ratio.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(405=15r^3\) और (r=3), अतः \(a_1=5\)। पहले अनुपात निकालें फिर पीछे जाएं। / \(a_5=a_2r^3\), so \(405=15r^3\) and (r=3), hence \(a_1=5\). First find the ratio and then move backward.
\(a_4=-243\) और \(a_6=-2187\), इसलिए योग (-2430) नहीं बल्कि (-2430) है। सही विकल्पों में (-2430) होना चाहिए। / \(a_4=-243\) and \(a_6=-2187\), so the sum is (-2430). The correct option should include (-2430).
(r=2) पर पद (2,4,8,16,32) हैं और योग (62) है। छोटे विकल्पों में पद बनाकर जांचना तेज होता है। / For (r=2), the terms are (2,4,8,16,32) and the sum is (62). For small options, forming the terms is quick.
\(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\) में \(r=\frac{1}{2}\) और चौथा पद \(\frac{3}{2}\) है। विकल्पों में पहला और चौथा पद दोनों जांचें। / In \(12,6,3,\frac{3}{2},\ldots\), \(r=\frac{1}{2}\) and the fourth term is \(\frac{3}{2}\). Check both first and fourth terms in the options.
\(a_2=2a_1\) और \(a_3=4a_1\), इसलिए \(6a_1=30\) और \(a_1=5\)। योग को पहले \(a_1\) और (r) से लिखें। / \(a_2=2a_1\) and \(a_3=4a_1\), so \(6a_1=30\) and \(a_1=5\). First write the sum using \(a_1\) and (r).
पद (3,6,12,24,48,96,192) हैं, इसलिए (100) से छोटा सबसे बड़ा पद (96) है। सीमा वाले प्रश्न में पास के पद जांचें। / The terms are (3,6,12,24,48,96,192), so the greatest term below (100) is (96). In boundary questions, check nearby terms.
मध्य पद के लिए ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), इससे (x=8) मिलता है। तीन पदों में मध्य पद का वर्ग दोनों किनारों के गुणनफल के बराबर होता है। / For the middle term, ((x+4)2=(x-2)(2x+8)), which gives (x=8). In three GP terms, the square of the middle term equals the product of the extremes.
\(a_6=a_2r^4\), इसलिए \(160=10r^4\) और (r=2), अतः \(a_1=5\)। पीछे जाने के लिए अनुपात से भाग दें। / \(a_6=a_2r^4\), so \(160=10r^4\) and (r=2), hence \(a_1=5\). Divide by the ratio to move backward.
पद \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\) हैं, इसलिए यह सातवाँ पद है। घटती श्रेढ़ी में अनुपात से बार-बार गुणा करें। / The terms are \(160,80,40,20,10,5,\frac{5}{2}\), so it is the seventh term. In a decreasing progression, multiply repeatedly by the ratio.
\(6,18,54,162,486,\ldots\) में \(a_2=18\) और \(a_5=486\) हैं। विकल्पों में पद-संख्या तक जांच करें। / In \(6,18,54,162,486,\ldots\), \(a_2=18\) and \(a_5=486\). Check each option up to the required positions.
\(a_6=a_3r^3\), इसलिए \(648=24r^3\) और (r=3), अतः \(a_4=72\)। पहले अनुपात निकालें फिर अगला पद बनाएं। / \(a_6=a_3r^3\), so \(648=24r^3\) and (r=3), hence \(a_4=72\). First find the ratio and then form the next term.
\(a_5=a_1r^4\), इसलिए \(243=3r^4\) और \(r^4=81\), अतः (r=3)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_5=a_1r^4\), so \(243=3r^4\) and \(r^4=81\), hence (r=3). When positive ratio is asked, take the positive root.
सार्व अनुपात (-3) है और पद (5,-15,45,-135,405,-1215) हैं। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलते हैं। / The common ratio is (-3), and the terms are (5,-15,45,-135,405,-1215). With a negative ratio, signs alternate.
(S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1) और \(3^n-1=242\) से (n=5) है। परीक्षा में योग को सरल करके घात पहचानें। / (S_n=2\(3^n-1\)/(3-1)=3^n-1), and \(3^n-1=242\) gives (n=5). In exams simplify the sum and identify the power.
\(a_5=2\cdot4^4=512\) और \(a_6=2048\) इसलिए योग (2560) है। परीक्षा में बड़े घातों को अलग-अलग निकालें। / \(a_5=2\cdot4^4=512\) and \(a_6=2048\), so the sum is (2560). In exams calculate large powers separately.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है और छठा पद \(\frac{5}{27}\) आता है। परीक्षा में भिन्न पदों को क्रम से भी जाँच सकते हैं। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\), and the sixth term is \(\frac{5}{27}\). In exams fractional terms can also be checked in order.
\(11\cdot2^{n-1}=1408\) से \(2^{n-1}=128=2^7\) इसलिए (n=8) है। परीक्षा में गुणनखंड निकालकर घात तुलना करें। / From \(11\cdot2^{n-1}=1408\), \(2^{n-1}=128=2^7\), so (n=8). In exams factor first and compare powers.
\(a_4=192\) और \(a_5=768\) इसलिए योग (960) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_4=192\) and \(a_5=768\), so the sum is (960). In exams find both terms separately and add.
\(\frac{486}{18}=27=r^3\) से (r=3) और \(a_1=18\div3=6\) है। परीक्षा में पहले (r) निकालें फिर \(a_1\)। / From \(\frac{486}{18}=27=r^3\), (r=3) and \(a_1=18\div3=6\). In exams find (r) first and then \(a_1\).
पद (81,27,9,3,1) हैं और योग (121) है। परीक्षा में छोटे घटते पदों को सीधे जोड़ना भी आसान है। / The terms are (81,27,9,3,1) and the sum is (121). In exams direct addition is also easy for small decreasing terms.
\(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\) इसलिए \(n=4\) है। परीक्षा में भिन्नों को पहले सरल करें। / From \(100\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{25}{2}\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{8}\), so \(n=4\). In exams simplify fractions first.
\(a_5=648\) और \(a_6=1944\) नहीं बल्कि \(a_5=648\) तथा \(a_6=1944\) का योग (2592) होता है। दिए विकल्पों में सही उत्तर नहीं है। / \(a_5=648\) and \(a_6=1944\), so their sum is (2592). None of the given options is correct.
\(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\) से \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\) इसलिए \(n=8\) है। परीक्षा में आधा करते हुए पद गिनें। / From \(512\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=4\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{128}\), so \(n=8\). In exams count terms while halving.
चौथे से नौवें पद तक (5) कदम हैं इसलिए \(a_9=80\cdot2^5=2560\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (5) steps from the fourth to the ninth term, so \(a_9=80\cdot2^5=2560\). In exams count the position gap.
